Question

4．氫原子可視為電子繞著原子核（氫原子視為質(zhì)子，電荷量等于一個元電荷e）做勻速圓周運動，若電子可以在距離原子核r和4r的圓軌道上做勻速圓周運動，設(shè)電子質(zhì)量為m，質(zhì)子質(zhì)量為M，靜電力常量為k，不計質(zhì)子與電子之間的萬有引力，求：
（1）電子在距離原子核r的圓軌道上做勻速圓周運動的速度大��；
（2）電子在距離原子核r和4r的圓軌道上做勻速圓周運動的周期之比；
（3）電子在距離原子核r和4r的圓軌道上做勻速圓周運動的動能之比．

Answer 1

分析 根據(jù)洛倫茲力提供向心力得出線速度、周期與軌道半徑的表達(dá)式，從而得出速度大小之比和周期之比，結(jié)合速度之比求出動能之比．

解答 解：（1）根據(jù)$k\frac{{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，v=$\sqrt{\frac{k{e}^{2}}{mr}}$，．
（2）根據(jù)$k\frac{{e}^{2}}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}m{r}^{3}}{k{e}^{2}}}$，
因為軌道半徑之比為1：4，則周期之比為1：8．
（3）根據(jù)$k\frac{{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，動能${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{k{e}^{2}}{r}$，
因為軌道半徑之比為1：4，則動能之比為4：1．
答：（1）電子在距離原子核r的圓軌道上做勻速圓周運動的速度大小為$\sqrt{\frac{k{e}^{2}}{mr}}$；
（2）電子在距離原子核r和4r的圓軌道上做勻速圓周運動的周期之比為1：8；
（3）電子在距離原子核r和4r的圓軌道上做勻速圓周運動的動能之比為4：1．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道電子做圓周運動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，難度不大．