Question

6．某同學(xué)利用單擺測(cè)定重力加速度時(shí)，用秒表測(cè)量單擺的周期，當(dāng)單擺擺動(dòng)穩(wěn)定且到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)并記為n=0，單擺每經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)記一次數(shù)，當(dāng)數(shù)到n=60時(shí)秒表的示數(shù)如圖1所示．

（1）該單擺的周期是T=2.25s．
（2）（多選）測(cè)量結(jié)果與當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度的真�?shí)值比較，發(fā)現(xiàn)偏大，可能原因是BC
A．振幅偏小
B．開(kāi)始計(jì)時(shí)誤記為n=1
C．將擺線(xiàn)加上球直徑當(dāng)成了擺長(zhǎng)
D．在單擺未懸掛之前先測(cè)定其擺線(xiàn)的長(zhǎng)度
（3）“重力勘探”是應(yīng)用地球表面某處重力加速度的異常來(lái)尋找礦床．假設(shè)A處的正下方有一均勻分布且體積為V的球形礦床，如圖2所示，礦床的密度為nρ（n＞1，ρ為地球的平均密度），萬(wàn)有引力常量為G．由于礦床的存在，某同學(xué)在地球表面A處利用單擺裝置測(cè)得的重力加速度為g，明顯大于該區(qū)域正常情況下地球表面的重力加速度理論值g₀．則根據(jù)上述數(shù)據(jù)可以推斷出此礦床球心離A的距離r為$\sqrt{\frac{G（n-1）ρV}{{g-{g_0}}}}$．（請(qǐng)用題中已知的字母表示）．

Answer 1

分析 （1）秒表的讀數(shù)等于小盤(pán)讀數(shù)加上大盤(pán)讀數(shù)，單擺的周期等于時(shí)間與全振動(dòng)次數(shù)的比值．
（2）根據(jù)單擺的周期公式得出重力加速度的表達(dá)式，結(jié)合擺長(zhǎng)和周期的測(cè)量誤差確定重力加速度的測(cè)量誤差．
（3）重力加速度的差異△g=g₀-g是由于球形礦的密度大于地球密度引起的．等效為密度為（nρ-ρ），體積為V的球行物體，在相距為r的地球表面產(chǎn)生了引力加速度△g，根據(jù)萬(wàn)有引力公式求解．

解答 解：（1）由單擺全振動(dòng)的次數(shù)為n=$\frac{60}{2}=30$次，秒表讀數(shù)為t=67.4s，該單擺的周期是T=$\frac{t}{n}=\frac{67.4}{30}s=2.25s$．
（2）由單擺周期公式T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{l}{g}}$，解得g=$\frac{4{π}^{2}l}{{T}^{2}}$，
A、重力加速度的測(cè)量值與振幅無(wú)關(guān)，振幅偏小，不影響測(cè)量結(jié)果，故A錯(cuò)誤；
B、開(kāi)始計(jì)時(shí)誤記為n=1，則周期偏小，根據(jù)g=$\frac{4{π}^{2}l}{{T}^{2}}$，知知重力加速度測(cè)量值偏大，故B正確．
C、以擺線(xiàn)長(zhǎng)與擺球的直徑之和作為擺長(zhǎng)來(lái)計(jì)算，擺長(zhǎng)偏大，根據(jù)g=$\frac{4{π}^{2}l}{{T}^{2}}$，知重力加速度測(cè)量值偏大，故C正確．
D、在未懸掛擺球之前先測(cè)定好擺長(zhǎng)，擺長(zhǎng)偏小，根據(jù)g=$\frac{4{π}^{2}l}{{T}^{2}}$，知重力加速度測(cè)量值偏小，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
（3）該同學(xué)測(cè)出的重力加速度的差異△g=g₀-g是由于球形礦的密度大于地球密度引起的．
等效為密度為（nρ-ρ），體積為V的球球物體，在相距為r的地球表面產(chǎn)生了引力加速度△g．
所以有：△g=$\frac{G（nρ-ρ）V}{{r}^{2}}$，
${r}^{2}=\frac{G（nρ-ρ）V}{△g}=\frac{Gρ（n-1）V}{g-{g}_{0}}$．
解得r=$\sqrt{\frac{G（n-1）ρV}{{g-{g_0}}}}$．
故答案為：（1）2.25s，（2）BC； （3）$\sqrt{\frac{G（n-1）ρV}{{g-{g_0}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了應(yīng)用單擺測(cè)重力加速度的實(shí)驗(yàn)原理、實(shí)驗(yàn)操作、實(shí)驗(yàn)誤差分析等問(wèn)題，是�？紗�(wèn)題；熟悉實(shí)驗(yàn)操作、熟練應(yīng)用單擺周期公式是正確解題的關(guān)鍵．