Question

15．如圖所示，一根左側(cè)彎成$\frac{1}{4}$圓弧的光滑細管固定在豎直平面內(nèi)，圓弧半徑R=0.5m，水平部分足夠長．初始時，一根質(zhì)量m=1kg、與管道$\frac{1}{4}$圓弧部分等長的柔軟勻質(zhì)繩在水平拉力F₀作用下靜止在管道中．現(xiàn)將繩子全部緩慢拉入水平管道內(nèi)，需要拉力F₀做功W=1.82J．g取10m/s²，π取3.14．求：
（1）繩子的重心升高了多少？
（2）若在圖示位置撤去拉力，繩子沿細管下落，當(dāng)其上端離開管道瞬間速度多少？
（3）若在緩慢拉動繩子進入水平管道的很短距離△L內(nèi)，可認為水平拉力F₀保持不變，拉力F₀做功等于繩子機械能增加量，則F₀的大小為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理，結(jié)合拉力做功與重力做功的代數(shù)和為零，求出重心上升的高度．
（2）根據(jù)動能定理，求出其上端離開管道瞬間速度．
（3）拉力做功，效果等同于底端長△L的繩子被拉到水平管內(nèi)，由動能定理，結(jié)合△L長度的質(zhì)量求出F₀的大�。�

解答 解：（1）繩子緩慢拉入水平管道重心升高h，
由動能定理：W+W_G=0
W=mgh
代入數(shù)據(jù)解得h=0.182m．
（2）由動能定理（或機械能守恒）
W_G=△E_K
$mg（\frac{πR}{4}+R-h）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得v=3.77m/s．
（3）拉力做功，效果等同于底端長△L的繩子被拉到水平管內(nèi)，由動能定理得，
${F}_{0}△L=△mg（R-\frac{△L}{2}）≈$△mgR
其中$△m=m\frac{△L}{\frac{1}{2}πR}$，
解得${F}_{0}=\frac{2mg}{π}$，代入數(shù)據(jù)解得F₀=6.37N．
答：（1）繩子的重心升高了0.182m；
（2）若在圖示位置撤去拉力，繩子沿細管下落，當(dāng)其上端離開管道瞬間速度為3.77m/s；
（3）F₀的大小為6.37N．

點評 本題考查了動能定理的綜合運用，在第一問中，抓住合力做功等于零求出重心上升的高度，在第二問中，對繩子運用動能定理，抓住重力做功等于動能的變化量進行求解．第三問難度較大，需要轉(zhuǎn)換思維，可以把拉力做功等效成底端長△L的繩子被拉到水平管內(nèi)．