Question

4．如圖所示，水平軌道左端與長(zhǎng)L=1.25m的水平傳送帶相接，傳送帶逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₀=1m/s．輕彈簧右端固定在光滑水平軌道上，彈簧處于自然狀態(tài)．現(xiàn)用質(zhì)量m=0.1kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）將彈簧壓縮后由靜止釋放，到達(dá)水平傳送帶左端B點(diǎn)后，立即沿切線進(jìn)入豎直固定的光滑半圓軌道最高點(diǎn)并恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)圓周最低點(diǎn)C后滑上質(zhì)量為M=0.9kg的長(zhǎng)木板上．豎直半圓軌道的半徑R=0.4，物塊與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.8，物塊與木板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.25，取g=10m/s²．求：

（1）物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度v_B的大�。�
（2）彈簧被壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能E_P．
（3）若長(zhǎng)木板與水平地面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₃≤0.026時(shí)，要使小物塊恰好不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下，木板長(zhǎng)度S的范圍是多少 （設(shè)最大靜動(dòng)摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力）．

Answer 1

分析 （1）據(jù)恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律列方程求解．
（2）抓住物塊在B點(diǎn)的速度大于傳送帶的速度，可知物塊在傳送帶上一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求出A點(diǎn)的速度，結(jié)合能量守恒定律求出彈簧的彈性勢(shì)能．
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出C點(diǎn)的速度，討論μ₃=0，μ₃=0.026時(shí)，通過動(dòng)量守恒定律和功能關(guān)系，以及動(dòng)能定理求出木板的長(zhǎng)度，從而得出木板的范圍．

解答 解：（1）物體在光滑半圓軌道最高點(diǎn)恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：$mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$   ①
解得${v}_{B}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.4}m/s=2m/s$．②
（2）物塊被彈簧彈出的過程中，物塊和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒：${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$    ③
v_B＞v₀=1m/s，物體在傳送帶上一直做勻減速運(yùn)動(dòng)．
物塊在傳送帶上滑行過程由動(dòng)能定理得：-f₁L=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$     ④
f₁=μ₁mg=0.8N  ⑤
聯(lián)立②③④⑤解得：E_p=1.2J ⑥
（3）物塊從B到C過程中由機(jī)械能守恒定律得：$mg2R=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，⑦
聯(lián)立②⑥解得：${v}_{C}=2\sqrt{5}$m/s ⑧
討論：Ⅰ．當(dāng)μ₃=0時(shí)，小物塊恰好不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下長(zhǎng)度為s₁，
小物塊和長(zhǎng)木板共速為v，由動(dòng)量守恒定律：mv_C=（M+m）v ⑨
由功能關(guān)系：${μ}_{2}mg{s}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$    ⑩
代入數(shù)據(jù)解得s₁=3.6m（11）
Ⅱ．當(dāng)μ₃=0.026時(shí)，小物塊恰好不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下長(zhǎng)度為s₂，
物塊在長(zhǎng)木板上滑行過程中，對(duì)長(zhǎng)木板受力分析：
上表面受到的摩擦力f₂=μ₂mg=0.25×1N=0.25N．（12）
下表面受到的摩擦力f₃≤μ₃（M+m）g=0.026×10N=0.26N
所以長(zhǎng)木板靜止不動(dòng)，對(duì)物塊在長(zhǎng)木板上滑行過程
由動(dòng)能定理得：-${f}_{2}{s}_{2}=0-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$    （13）
代入數(shù)據(jù)解得s₂=4m（14）
所以木板長(zhǎng)度的范圍是3.6m≤s≤4m（15）
答：（1）物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度v_B的大小為2m/s．
（2）彈簧被壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能為1.2J．
（3）要使小物塊恰好不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下，木板長(zhǎng)度S的范圍是3.6m≤s≤4m．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚滑塊的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況是解題的關(guān)鍵，據(jù)受力情況判斷滑塊的運(yùn)動(dòng)是解題的核心，靈活利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理和能量守恒定律，動(dòng)量守恒定律進(jìn)行求解．