Question

19．如圖所示，M、N為兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板，兩板間電壓可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值，靜止的帶電粒子帶電荷量為-q，質(zhì)量為m（不計(jì)重力），從點(diǎn)P經(jīng)電場(chǎng)加速后，從小孔Q進(jìn)入N板右側(cè)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，CD為磁場(chǎng)邊界上的一絕緣體，它與N板間的夾角為θ=45°，孔Q到板的下端C的距離為L(zhǎng)．當(dāng)M、N兩板間的電壓取最大值時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上，求：
（1）兩板間電壓的最大值U_m；
（2）CD板上可能被粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度s；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t_m．

Answer 1

分析 （1）粒子恰好垂直打在CD板上，根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡，可以求得粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，由半徑公式可以求得電壓的大��；
（2）當(dāng)粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡恰好與CD板相切時(shí)，這是粒子能達(dá)到的最下邊的邊緣，在由幾何關(guān)系可以求得被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度．
（3）打在QE間的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，均為半周期，根據(jù)周期公式即可求解．

解答 解：（1）M、N兩板間電壓取最大值時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上，
所以圓心在C點(diǎn)，CH=QC=L，故半徑R₁=L
又因qvB=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$
qU_m=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
所以U_m=$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2m}$
（2）設(shè)軌跡與CD板相切于K點(diǎn)，半徑為R₂，在△AKC中：
sin45°=$\frac{{R}_{2}}{L-{R}_{2}}$
所以R₂=（$\sqrt{2}-1$）L
即KC長(zhǎng)等于R₂=（$\sqrt{2}-1$）L
所以CD板上可能被粒子打中的區(qū)域即為HK的長(zhǎng)度，
S=HK=R₁-R₂=L-（$\sqrt{2}-1$）L=（2-$\sqrt{2}$）L
（3）打在QE間的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，均為半周期：
T=$\frac{2πm}{qB}$
所以${t}_{m}=\frac{1}{2}T=\frac{πm}{qB}$
答：（1）兩板間電壓的最大值U_m為$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2m}$；
（2）CD板上可能被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度s為（2-$\sqrt{2}$）L；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t_m為$\frac{πm}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．