Question

5．如圖所示，真空中存在空間范圍足夠大、方向水平向右的勻強磁場，在電場中，一個質(zhì)量為m、電荷量為q的離子，以大小為V₀的初速度從O點以與電場負方向成θ=45°角的方向向上做直線運動．
（1）求粒子運動的最高點與出發(fā)點之間的電勢差及粒子運動到最高點所用的時間
（2）當粒子運動的速度大小為$\frac{1}{2}$V₀時，立即將電場的方向反向，大小保持不變，則當粒子的速度大小再次變?yōu)閂₀時，電磁力做功為多少？

Answer 1

分析 （1）因物體受重力及電場力的作用而做直線運動，故物體所受力的合力一定在運動方向的直線上；則由力的合成可求得電場力，由牛頓第二定律可求得加速度；由位移公式求得位移，即可由功的公式求得電場力的功．
（2）當電場方向反向后，物體做曲線運動，但在豎直方向只受重力，在水平方向只受電場力，利用運動學(xué)公式求的時間，在歐位移時間公式求的在電場力方向上通過的位移即可求得電場力做功；

解答 解：（1）設(shè)小球的電荷量為q，因小球做直線運動，則它受到的靜電力Eq和重力mg的合力方向必與初速度方向在同一直線上
故mg=qE
小球做勻減速運動的加速度大小為：
a=$\frac{F}{m}=\frac{\sqrt{2}mg}{m}=\sqrt{2}g$；
在水平方向和豎直方向的加速度為a_x=a_y=g
速度減為零通過的位移為X=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2\sqrt{2}g}$
水平方向通過的位移為x=Xcos45°=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g}$
電勢差為U=mgx=$\frac{{mv}_{0}^{2}}{4}$
所需時間為t=$\frac{{v}_{0}}{\sqrt{2}g}$
（2）離子在水平方向和豎直方向的分速度為${v}_{0x}={v}_{0y}=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}$
當速度減為$\frac{1}{2}{v}_{0}$時，此時離子水平方向和豎直方向的分速度為${v′}_{0x}={v′}_{0y}=\frac{\sqrt{2}}{4}{v}_{0}$
經(jīng)歷的時間為$t′=\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{4g}$
當電場反向后，經(jīng)過時間t′速度達到v₀，則v′_x=v′_0x+gt′
v′_y=v′_0y-gt′
${v}_{0}=\sqrt{（v{′}_{x}）^{2}+（v{′}_{y}）^{2}}$
聯(lián)立解得t′=$\frac{\sqrt{6}{v}_{0}}{4g}$
在時間t′內(nèi)沿電場方向通過的位移為$x′=v{′}_{0x}t′+\frac{1}{2}{a}_{y}t{′}^{2}=\frac{{\sqrt{3}v}_{0}^{2}}{2g}+\frac{{3v}_{0}^{2}}{16g}$
電場力做功為W=mgx$′=mg（\frac{{\sqrt{3}v}_{0}^{2}}{2g}+\frac{{3v}_{0}^{2}}{16g}）$
答：（1）求粒子運動的最高點與出發(fā)點之間的電勢差$\frac{{mv}_{0}^{2}}{4}$，粒子運動到最高點所用的時間$\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{4g}$
（2）當粒子運動的速度大小為$\frac{1}{2}$V₀時，立即將電場的方向反向，大小保持不變，則當粒子的速度大小再次變?yōu)閂₀時，電磁力做功為$mg（\frac{{\sqrt{3}v}_{0}^{2}}{2g}+\frac{{3v}_{0}^{2}}{16g}）$

點評 本題主要考查了離子在重力和電場力作用下的直線運動和曲線運動，在曲線運動過程中會把曲線運動分解為直線運動