Question

2．我國自主研發(fā)的北斗導(dǎo)航系統(tǒng)已正式投人商業(yè)運(yùn)行，北斗導(dǎo)航系統(tǒng)又被稱為“雙星定位系統(tǒng)”、具有導(dǎo)航、定位等功能．如圖所示，北斗導(dǎo)航系統(tǒng)中的兩顆工作衛(wèi)星均繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且軌道半徑均為r某時(shí)刻工作衛(wèi)星1、2分別位于軌道上的A，B兩個(gè)位置，若兩衛(wèi)星均沿順時(shí)針方向運(yùn)行，地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，不計(jì)衛(wèi)星間的相互作用力，下列判斷正確的是（　�。�

• A． 衛(wèi)星1向后噴氣就一定能夠追上衛(wèi)星2
• B． 衛(wèi)星1由A位置運(yùn)動(dòng)到B位置的過程中萬有引力做正功
• C． 這兩顆衛(wèi)星的加速度大小相等，均為$\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$
• D． 衛(wèi)星1由位置A運(yùn)動(dòng)到B位置所需的時(shí)間是$\frac{2πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和地球表面重力與萬有引力相等求解出衛(wèi)星軌道處的加速度及衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期．

解答 解：A、衛(wèi)星1向后噴氣，衛(wèi)星做加速運(yùn)動(dòng)，在軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力增加，而提供向心力的萬有引力沒有發(fā)生變化，故衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星軌道變大，故衛(wèi)星不能追上同軌道運(yùn)行的衛(wèi)星2，故A錯(cuò)誤；
B、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的過程中，萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故從位置1運(yùn)動(dòng)到位置2的過程中，萬有引力始終指向圓心與衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的速度方向垂直，故此過程中萬有引力對(duì)衛(wèi)星不做功，故B錯(cuò)誤；
C、在地球表面重力與萬有引力大小相等有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$可得GM=gR²，又衛(wèi)星在軌道上運(yùn)動(dòng)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的加速度，故有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=ma$可得衛(wèi)星的加速度
a=$\frac{GM}{{r}^{2}}=\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$，故C正確；
D、萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得衛(wèi)星運(yùn)行周期為：
T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{g{R}^{2}}}=\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$，
所以衛(wèi)星從位置1到位置2所需時(shí)間t=$\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}×\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}=\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}$，故D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 萬有引力引用主要入手點(diǎn)：一是萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，二是在星球表面重力與萬有引力相等．注意向心力公式的不同表達(dá)式是正確解題的關(guān)鍵．