Question

11．如圖所示，光滑的水平軌道與光滑半圓弧軌道相切．圓軌道半徑R=0.4m，一小球停放在光滑水平軌道上，現給小球一個v₀的初速度，達到C點的速度為v，（取g=10m/s²，不計空氣阻力）．
（1）若小球恰好能達到C點，則小球達到C點時速度為多少？
（2）若 小球達到C點的速度為v₁=3m/s，則小球落到水平軌道前在水平方向運動的距離及落到水平軌道時速度的大小分別是多少？
（3）若小球達到C點的速度為v₂=4m/s，則小球達到C點時加速度大小及對C點的壓力別是多少？

Answer 1

分析 小球恰好到達C點，對軌道的壓力為零，根據牛頓第二定律求出C點的速度．
根據平拋運動的高度求出落地的時間，結合速度時間公式求出落地的豎直分速度，結合平行四邊形定則求出落地的速度，根據初速度和時間求出水平位移．
根據牛頓第二定律求出加速度以及軌道對小球的壓力．從而得出小球對C點的壓力．

解答 解：（1）小球恰好到達C點，根據牛頓第二定律得，mg=$m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{C}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.4}m/s=2m/s$．
（2）根據$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}=\sqrt{\frac{4×0.4}{10}}s=0.4s$，
則水平距離x=v₁t=3×0.4m=1.2m．
落地時豎直分速度v_y=gt=10×0.4m/s=4m/s，則落地的速度v=$\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{9+16}m/s=5m/s$．
（3）根據牛頓第二定律得，$N+mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}=ma$，
解得a=$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}=\frac{16}{0.4}m/{s}^{2}=40m/{s}^{2}$，
N=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}-mg=m（40-10）=30m$．
答：（1）小球到達C點的速度為2m/s；
（2）小球落到水平軌道前在水平方向運動的距離為1.2m；落到水平軌道時速度的大小為5m/s．
（3）小球達到C點時加速度大小為40m/s²，對C點的壓力為30m．

點評 本題考查了圓周運動和平拋運動的基本運用，知道圓周運動向心力的來源和平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律是解決本題的關鍵．