Question

15．如圖所示的豎直平面內(nèi)，相距為d的不帶電平行金屬板M、N水平固定放置，與燈泡L、開關S組成回路并接地，上極板M與其上方空間的D點相距h，燈泡L的額定功率與電壓分別為P_L、U_L．帶電量為q的小物體以水平向右的速度v₀從D點連續(xù)發(fā)射，落在M板其電荷立即被吸收，M板吸收一定電量后閉合開關S，燈泡能維持正常發(fā)光．設小物體視為質(zhì)點，重力加速度為g，金屬板面積足夠大，M板吸收電量后在板面均勻分布，M、N板間形成勻強電場，忽略帶電小物體間的相互作用．
（1）初始時帶電小物體落在M板上的水平射程為多大？
（2）單位時間發(fā)射小物體的個數(shù)為多少？
（3）閉合開關S后，帶電粒子Q以水平速度從勻強電場左側(cè)某點進入電場，并保持適當穿過M、N板之間．現(xiàn)若在M、N板間某區(qū)域加上方向垂直于紙面的勻強磁場，使Q在紙面內(nèi)無論從電場左側(cè)任何位置以某水平速度進入，都能到達N板上某定點O，求所加磁場區(qū)域為最小時的幾何形狀及位置．

Answer 1

分析 （1）小球在空間中做類平拋運動，由運動的合成與分解可求得水平射程的大�。�
（2）由功率公式P=UI及電流公式I=$\frac{q}{t}$及電流的微觀定義可求得分子個數(shù)；
（3）由題意可明確粒子在復合場中做勻速圓周運動，根據(jù)幾何關系及洛侖茲力充當向心力規(guī)律可明確磁場最小時的幾何形狀及位置．

解答 解：（1）由題意知，在初始時M板不帶電，帶電小球在空間做平拋運動，設小物體到達M板時間為t1，水平射程為I1，
則有：
h=$\frac{1}{2}$gt₁²
l₁=v₀t₁
聯(lián)立解是：l₁=$\frac{{v}_{0}}{g}\sqrt{2gh}$；

（2）燈泡正常發(fā)光，金屬板M、N間的電壓為U_L，由電容器原理可知，金屬板M、N所帶電量為定值，這時落到板M的電量全部流過燈泡，設流過燈泡的電流為I_L，在時間t內(nèi)流過燈泡的電量為Q_L，有：
P_L=I_LU_L
Q_L=I_Lt
設單位時間內(nèi)發(fā)射小球的個數(shù)為n，則有：
Q_L=nqt
聯(lián)立以上各式解得：n=$\frac{{P}_{L}}{q{U}_{L}}$；

（3）閉合開關S后，M、N板間為勻強電場，Q進入后速度不變，則說明Q所受電場力與重力平衡，再進入磁場區(qū)域必做勻速圓周運動，以O點為坐標原點建立如圖直角價坐標系x0y，Q進入板間做勻速直線運動，設Q做勻速圓周運動的圓心為0，半徑為r，OC與水平方向的夾角為θ，G點的坐標為（x，y），有x=-rcosθ
y=r+rsinθ
聯(lián)立得：
x²+（y-r）²=r²
則可知磁場在y軸左邊的邊界為半圓，要讓該圓為量小，必有：
r=$\fracrm7l5kz{2}$
Q靠近M板進入磁場時做勻速圓周運動的軌跡為y軸右邊的半圓，其方程為：
x²+（y-$\frachzzprjy{2}$）²=（$\fracuedfeox{2}$）²
Q從其它位置進入磁場做勻速圓周運動的軌跡不會超過y軸與此圓所圍區(qū)域，故磁場在y軸右邊區(qū)域最小的邊界也為該半圓，則磁場的最小區(qū)域為圓，半徑為$\fracd11aibs{2}$；圓心為距0點$\fracgia8qzi{2}$的板間中心處．
答：（1）初始時帶電小物體落在M板上的水平射程為$\frac{{v}_{0}}{g}\sqrt{2gh}$；
（2）單位時間發(fā)射小物體的個數(shù)為多少？
（3）磁場的最小區(qū)域為圓，半徑為$\fracz2k6sbj{2}$；圓心為距0點$\fracw134sri{2}$的板間中心處．

點評 本題考查了帶電體在電場和磁場中的運動，要注意明確帶電小球的重力不能忽略；故小球在磁場中做勻速圓周運動時，重力與電場力相互平衡．