Question

如圖，直線MN上方有平行于紙面且與MN成45°的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小未知；MN下方為方向垂直于紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．今從MN上的O點(diǎn)向磁場(chǎng)中射入一個(gè)速度大小為v、方向與MN成45°角的帶正電粒子，該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑為R．該粒子從O點(diǎn)出發(fā)記為第一次經(jīng)過(guò)直線MN，第五次經(jīng)過(guò)直線MN時(shí)恰好又通過(guò)O點(diǎn)．不計(jì)粒子的重力．
（1）畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的草圖；
（2）求出電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；
（3）求該粒子再次從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后，運(yùn)動(dòng)軌道的半徑r；
（4）求該粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再次回到O點(diǎn)所需的時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）先分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況再畫(huà)運(yùn)動(dòng)軌跡：粒子先在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，接著逆著電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)做往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，第四次通過(guò)MN后進(jìn)入電場(chǎng)后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，軌跡是拋物線．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)速率相等，軌跡半徑不變，畫(huà)出軌跡示意圖．
（2）根據(jù)幾何關(guān)系，求出粒子在電場(chǎng)中類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程垂直、平行電場(chǎng)方向上的分位移，根據(jù)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（3）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合粒子再次從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后的速率，由公式r=

mv

qB

即可求出半徑r．
（4）根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，求出粒子在磁場(chǎng)中的時(shí)間；根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可求出總時(shí)間．

解答：解：（1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖．
（2）由幾何關(guān)系得

.

oc

=2

2

R．
粒子從c到o做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，且在垂直、平行電場(chǎng)方向上的位移相等，都為s_⊥=s_∥=

.

oc

sin45°=2R
類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為  t3=

2⊥

v

=

2R

v

又 s_∥=

1

2

a

t

2 3

=

qE

2m

t

2 3

又 R=

mv

qB

聯(lián)立得E=vB
（3）粒子在電場(chǎng)中的加速度為a=

qE

m

=

qvB

m

v₂=at₃=

qvB

m

?

2R

v

=2v，v₁=v
粒子第五次過(guò)MN進(jìn)入磁場(chǎng)后的速度為 v′=

v 2 1 + v 2 2

=

5

v
則第五次過(guò)MN進(jìn)入磁場(chǎng)后的圓弧半徑為 R′=

mv′

qB

=

5

R
（4）由圖知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角之和為2π，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為等于一個(gè)周期，即為  t1=

2πR

v

粒子做直線運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間為 t2=

2v

a

=

2mv

qvB

=

2R

v

聯(lián)立得：粒子從出發(fā)到第五次到達(dá)O點(diǎn)所需時(shí)間為t=t1+t2+t3=

2R

v

(2+π)
答：（1）畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的草圖如圖；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小是vB；
（3）該粒子再次從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后，運(yùn)動(dòng)軌道的半徑是

5

R；
（4）求該粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再次回到O點(diǎn)所需的時(shí)間t是

2R

v

(2+π)．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，畫(huà)出軌跡，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)．