Question

4．如圖所示，光滑圓管形軌道AB部分平直，BC部分是處于豎直平面內半徑為R的半圓，圓管截面半徑r＜＜R，有一質量為m，半徑比r略小的光滑小球以水平初速度v₀射入圓管．關于小球的運動下列敘述不正確的是（　　）

• A． 若要小球能從C端出來，入射速度v₀＞$\sqrt{4gR}$
• B． 若小球剛好對C端管壁無壓力，需滿足條件v₀=$\sqrt{5gR}$
• C． 若小球對C端下管壁有壓力，相應的入射速度為$\sqrt{4gR}$≤v₀＜$\sqrt{5gR}$
• D． 若小球對C端上管壁有壓力，相應的入射速度為v₀＜$\sqrt{5gR}$

Answer 1

分析 （1）當球恰好能從C端出來時，速度為零，根據機械能守恒定律求解初速度v₀．
（2）以小球為研究對象，小球經過C點時速度不同，管壁對球的作用力大小和方向不同，分析討論：當管壁對球無作用力時，在C點由重力提供小球的向心力，由牛頓第二定律求出在C點的速度，由機械能守恒定律求出初速v₀．當初速度大于和小于臨界速度時，由向心力知識分析管壁對球的作用力大小和方向．

解答 解：A、當球恰好能從C端出來時，速度v_C=0．
根據機械能守恒定律得：mg•2R=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：${v}_{0}=2\sqrt{gR}$
所以要使小球能從C端出來，初速度v₀≥$2\sqrt{gR}$，故A正確；
B、在小球從C端出來的瞬間，對管壁壓力有三種典型情況：
①當管壁對球無作用力時，即N=0時，由mg=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，v_C=$\sqrt{gR}$，根據機械能守恒定律得：
mg•2R+$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{5gR}$．
②當管壁對球的作用力方向向下時，球對管壁的壓力方向向上，此時v₀＞$\sqrt{5gR}$
③當管壁對球的作用力方向向上時，球對管壁的壓力方向向下，此時$2\sqrt{gR}≤{v}_{0}＜\sqrt{5gR}$，故BC正確，D錯誤．
本題選錯誤的，故選：D

點評 本題是機械能守恒定律與向心力知識的結合，考查綜合應用物理規(guī)律的能力．對于小球在管子里的運動情形與輕桿模型類似，關鍵抓住臨界情況：小球恰好到最高點和在最高點恰好不受管壁作用力兩種情況．