Question

6．如圖所示，遙控電動賽車（可視為質點）從A點由靜止出發(fā)，經過時間t后關閉電動機，賽車繼續(xù)前進至B點后進入固定的圓形光滑過山車軌道，通過軌道最高點P后又進入水平軌道CD上．已知賽車在水平軌道AB部分和CD部分運動時受到的阻力恒為車重的0.5倍，賽車的質量m=0.4kg，通電后賽車的電動機以額定功率P=2W工作，軌道AB的長度L=2m，圓形軌道的半徑R=0.5m，空氣阻力可以忽略，取重力加速度g=10m/s²．某次比賽，要求賽車在運動過程中既不能脫離軌道，又要在CD軌道上運動的路程最短．在此條件下，求：
（1）賽車過P點時，不脫離軌道的最小速度V_p；
（2）賽車在CD軌道上運動的最短路程x；
（3）賽車電動機工作的時間t．

Answer 1

分析 （1）賽車在電動機牽引力作用下從靜止開始加速運動，之后關閉發(fā)動機滑行，正好能在運動過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運動的路程最短．因此利用車恰能通過軌道最高來求出P點速度；
（2）（3）根據機械能守恒定律，求出進入軌道C點的最小速度，從而由動能定理來求出CD軌道上運動的最短路程，同時再由動能定理來求出賽車電動機工作的時間．

解答 解：（1）要求賽車在運動過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運動的路程最短，則賽車經過圓軌道P點時速度最小，此時賽車對軌道的壓力為零，重力提供向心力：
mg=m$\frac{{V}_{p}}{R}$  
V_p=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.5}$=$\sqrt{5}$m/s 
（2）賽車在C點的速度為v_C，由機械能守恒定律可得：
mg•2R+$\frac{1}{2}$mV${\;}_{P}^{2}$=$\frac{1}{2}$mV${\;}_{c}^{2}$ 
由上述兩式聯立，代入數據可得：
v_C=5 m/s 
設賽車在CD軌道上運動的最短路程為x，由動能定理可得：-kmgx=0-$\frac{1}{2}$mV${\;}_{C}^{2}$
代入數據可得：x=2.5 m  
（3）由于豎直圓軌道光滑，由機械能守恒定律可知：
v_B=v_C=5 m/s  
從A點到B點的運動過程中，由能量守恒定律可得：
P_t=kmgL+$\frac{1}{2}$mV${\;}_{B}^{2}$
代入數據可得：t=4.5 s 
答：（1）賽車過P點時，不脫離軌道的最小速度V_p為$\sqrt{5}$m/s；
（2）賽車在CD軌道上運動的最短路程x為2.5m；
（3）賽車電動機工作的時間t為4.5s．

點評 本題突破口是小車恰能通過最高點時，就是小車在CD軌道上運動的最短路程．同時對動能定理，機械能守恒定律理解．