Question

14．質量m=1噸的汽車通過圓形拱形橋時的速率恒定，拱形橋的半徑R=5m．試求：
（1）汽車在最高點對拱形橋的壓力為車重的一半時汽車的速度；
（2）汽車在最高點對拱形橋的壓力為零時汽車的速度．

Answer 1

分析 （1）在拱形橋最高點，根據重力和橋面的支持力的合力提供圓周運動的向心力，根據牛頓第二定律和向心力公式，求出汽車的速度．
（2）汽車在最高點對拱形橋的壓力為零時，僅靠重力提供向心力，再根據牛頓第二定律和向心力公式，求出汽車的速度．

解答 解：（1）汽車在最高點時，豎直方向受重力和支持力，其合力提供向心力，由向心力公式得：
 mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由題意有：N=0.5mg
聯立得：$\frac{1}{2}$mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：v=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$=$\sqrt{\frac{1}{2}×10×5}$m/s=5m/s
（2）汽車在最高點對拱形橋的壓力為零時，汽車在豎直方向只受重力，由重力提供向心力，由向心力公式得：
 mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
代入數據得：v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×5}$m/s=5$\sqrt{2}$m/s
答：（1）汽車在最高點對拱形橋的壓力為自身車重一半時，汽車的速度是5m/s．
（2）汽車在最高點對拱形橋的壓力為零時，汽車的速度是5$\sqrt{2}$m/s

點評 解決本題的關鍵知道汽車過拱橋時，在最高點，靠重力和支持力的合力提供向心力，若支持力為0，由重力提供向心力．