Question

9．如圖所示，光滑水平面上有A、B兩個(gè)位置，它們之間的距離為x，一個(gè)物體（物體視為質(zhì)點(diǎn)）靜止放在位置A處．現(xiàn)在要把該物體從位置A移動(dòng)到位置B，有兩種方法．第一種是：在該物體上加一個(gè)水平向右的恒力，使物體先以加速度大小為a勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到某一合適的位置后，外力撤去，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，再到另一個(gè)合適的位置，該力保持大小不變?cè)俜聪蛳蜃笞饔糜谖矬w，使物體再以加速度大小為a做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，最后到達(dá)位置B時(shí)撤去外力，物體速度剛好為零靜止不動(dòng)．第二種是：在該物體上加一個(gè)同樣大小的水平向右的恒力，使物體也先以加速度大小為a勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到某一合適的位置后，該力突然反向向左且大小不變作用于物體，使物體再以加速度大小為a做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，最后也到達(dá)位置B時(shí)撤去外力，物體速度剛好為零靜止不動(dòng)．請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算判斷，以上哪種情況該物體從A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)間最短，其最短時(shí)間為多少？

Answer 1

分析 第一種情況物體經(jīng)歷勻加速、勻速、勻減速三個(gè)過(guò)程，第二種情況物體先勻加速再勻減速，由位移時(shí)間關(guān)系以及速度時(shí)間關(guān)系等列方程求解，對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較．

解答 解：第一種情況，設(shè)總時(shí)間為t，勻加速時(shí)間為t₁，勻速時(shí)間為t₂，由對(duì)稱性可得，勻減速的時(shí)間也為t₁，故有：
t=2t₁+t₂
設(shè)勻加速位移為x₁，末速度為v，有：
${x}_{1}=\frac{1}{2}$${at}_{1}^{2}$
v=at₁
勻速運(yùn)動(dòng)的位移為：x₂=vt₂
勻減速的位移與勻加速位移相同，故位移為：x=2x₁+x₂
聯(lián)立以上各式可得，t=${t}_{1}+\frac{x}{{at}_{1}}$
由數(shù)學(xué)知識(shí)可得，t$≥2\sqrt{\frac{x}{a}}$，因${t}_{2}≠0，故t＞\sqrt{\frac{x}{a}}$
第二種情況，設(shè)總時(shí)間為t′，則有：$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$a${（\frac{t′}{2}）}^{2}$
解得，t$′=2\sqrt{\frac{x}{a}}$
由以上可得，第二種情況該物體從A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)間最短，最短為：2$\sqrt{\frac{x}{a}}$
答：第二種情況該物體從A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)間最短，最短為：2$\sqrt{\frac{x}{a}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題運(yùn)動(dòng)情景比較清晰，但運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系比較多，數(shù)學(xué)運(yùn)算比較麻煩，給試題增加了難度，而這種能力要求是學(xué)生必須具備的．