Question

19．如圖所示，光滑水平地面上方被豎直平面MN分隔成兩部分，左邊（包括豎直平面MN）有勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，右邊有勻強(qiáng)電場(chǎng)E₀（圖中未標(biāo)）．在O點(diǎn)用長(zhǎng)為L(zhǎng)=5m的輕質(zhì)不可伸長(zhǎng)的絕緣細(xì)繩系一質(zhì)量m_A=0.02kg、帶負(fù)電且電荷量q_A=4×10^-4C的小球A，使其在豎直平面內(nèi)以速度v_A=2.5m/s沿順時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)與地面剛好不接觸．處于原長(zhǎng)的輕質(zhì)彈簧左端固定在墻上，右端與質(zhì)量m_B=0.01kg、帶負(fù)電且電荷量q_B=2×10^-4C的小球B接觸但不連接，此時(shí)B球剛好位于M點(diǎn)．現(xiàn)用水平向左的推力將B球緩慢推到P點(diǎn)（彈簧仍在彈性限度內(nèi)），推力所做的功是W=2.0J，當(dāng)撤去推力后，B球沿地面向右運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)對(duì)地面的壓力剛好為零，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)恰好能與A球在最低點(diǎn)發(fā)生正碰，并瞬間成為一個(gè)整體C（A、B、C都可以看著質(zhì)點(diǎn)），碰撞前后總電荷量保持不變，碰后瞬間勻強(qiáng)電場(chǎng)大小變?yōu)镋₁=1×10³ N/C，方向不變．g=10m/s²．求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向？
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E₀的大小和方向？
（3）整體C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩對(duì)C的拉力F的大��？

Answer 1

分析 （1）對(duì)B球由能量關(guān)系可求得B的速度；再根據(jù)B球?qū)Φ孛娴膲毫�為零，由二力平衡可求得磁感�?yīng)強(qiáng)度B的大小和方向；
（2）小球在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則重力一定和電場(chǎng)力相互平衡；
（3）碰撞過(guò)程兩球的動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可求得C的速度，由受力分析明確粒子的運(yùn)動(dòng)情況，再由向心力公式及平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可明確拉力的大�。�

解答 解：（1）設(shè)B球運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)速度為v_B，根據(jù)能量守恒有
W=$\frac{1}{2}$m_Bv_B²
解得：v_B=20 m/s
B球運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)對(duì)地面的壓力剛好為零，則
q_Bv_BB=m_Bg
解得B=25T
B球帶負(fù)電，受洛倫茲力豎直向上，則磁場(chǎng)方向垂直紙面水平向外
（2）小球A在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以受到的電場(chǎng)力與重力大小相等、方向相反．即有q_AE₀=m_Ag
解得E₀=5×10² N/C
A球帶負(fù)電，受到的電場(chǎng)力豎直向上，則電場(chǎng)方向豎直向下
（3）設(shè)A、B碰后瞬間整體C帶電荷量為q_c，質(zhì)量為m_c，速度為v_c，由動(dòng)量守恒
q_c=q_A+q_B=6×10^-4C，m_c=m_A+m_B=0.03kg
m_Bv_B-m_Av_A=m_c v_c
解得v_c=5m/s
設(shè)整體C受到電場(chǎng)力和重力的合力為F_合，在最低點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力為F_向，則F_合=q_cE₁-m_cg=0.3N，F(xiàn)_向=$\frac{{m}_{C}{v}_{C}^{2}}{L}$=0.15N，
F_合＞F_向，所以，細(xì)繩將松馳，整體C不會(huì)做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)最高點(diǎn)，而是從碰后開(kāi)始做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)
設(shè)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的加速度為a，經(jīng)過(guò)時(shí)間t在某點(diǎn)S將繩繃緊，對(duì)應(yīng)的水平方向的距離為x，豎直方向的距離為y，如圖，則
a=$\frac{F}{m}$
 x=v_ct
y=$\frac{1}{2}$at²
且有x²+（L-y）²=L²
或x²+（y-L）²=L²
解得a=10 m/s²，t=1s，x=5m，y=5m

由于x=y=L，某點(diǎn)S與O點(diǎn)在同一水平位置，C的水平速度變?yōu)榱悖?br />C從S點(diǎn)到最高點(diǎn)之間將做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)在S點(diǎn)的豎直速度為v_s，到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v，則v_s=at，v_s=10m/s
$\frac{1}{2}$m_Cv²-$\frac{1}{2}$m_cv_s²=q_cE₁L-m_cgL
解得：v=10$\sqrt{2}$m/s；
根據(jù)牛頓第二定律得 F+m_cg-q_cE₁=$\frac{{m}_{c}{v}^{2}}{L}$
解得F=1.5N
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為25T；方向垂直紙面向外；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E₀的大小5×10² N/C；方向豎直向下；
（3）整體C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩對(duì)C的拉力F的大小為1.5N．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)，同時(shí)結(jié)合了動(dòng)量守恒、功能關(guān)系、牛頓第二定律及向心力公式等，要注意明確物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，并正確應(yīng)用相應(yīng)的物理規(guī)律求解．