Question

如圖所示，與紙面垂直的豎直面MN的左側(cè)空間中存在豎直向上場(chǎng)強(qiáng)大小為E=2.5×10²N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)（上、下及左側(cè)無界）．一個(gè)質(zhì)量為m=0.5kg、電量為q=2.0×10²C的可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電小球，在時(shí)刻t=0以大小為υ₀的水平初速度向右通過電場(chǎng)中的一點(diǎn)P，當(dāng)t=t₁時(shí)刻在電場(chǎng)所在空間中加是一如右圖所示隨時(shí)間表周期性變化的磁場(chǎng)，使得小球能豎直向下通過D點(diǎn)，D為電場(chǎng)中小球初速度方向上一點(diǎn)，PD間距為L，D到豎直面MN的距離DQ為L/π，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直紙面向里為正，（g=10m/s²

（1）如果磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀為已知量，試推出滿足條件時(shí)t₁的表達(dá)式（用題中所給物理量的符號(hào)表示）．
（2）若小球能始終在電場(chǎng)所在空間做周期性運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期最大時(shí)，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀及運(yùn)動(dòng)的最大周期T的大�。�
（3）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期最大時(shí)，在圖中畫出小球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡．

Answer 1

分析：（1）小球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律與幾何關(guān)系，即可求解；
（2）根據(jù)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系與運(yùn)動(dòng)軌道周期的公式，即可求解；
（3）根據(jù)對(duì)小球受力分析，由受力情況來確定運(yùn)動(dòng)情況，從而畫出運(yùn)動(dòng)軌跡．

解答：解：當(dāng)小球進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)：mg=Eq將做勻速直線運(yùn)動(dòng)
（1）在t₁時(shí)刻加入磁場(chǎng)，小球在時(shí)間t₀表內(nèi)將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)周期為T₀
若豎直向下通過D點(diǎn)，由圖甲分析可知必有以下兩個(gè)重要條件：t0=

3

4

T0； PF-PD=R即：υ₀t₁-L=R；
粒子運(yùn)動(dòng)的半徑：R=

mυ0

qB0

所以：υ₀t₁-L=

mv0

qB0

即：t1=

L

v0

+

m

qB0

 
（2）小球運(yùn)動(dòng)的速率始終不變，當(dāng)R變大時(shí)，T₀也增加，小球在電場(chǎng)中的周期T增加，在小球不飛出電場(chǎng)的情況下，當(dāng)T最大時(shí)有：DQ=2R          

L

π

=

2Mυ0

qB0

B0=

2πR

υ0

=

2πm

qB0

=

L

υ0

；
由圖分析可知小球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大周期：T=8×

3T0

4

=6

L

υ0

；
（3）由1的方向可得，當(dāng)不存在磁場(chǎng)時(shí)，小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)存在磁場(chǎng)時(shí)，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以小球運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲-2所示
答：（1）滿足條件的表達(dá)式為：t1=

L

v0

+

m

qB0

    （2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B0=

L

υ0

；運(yùn)動(dòng)的最大周期T的大小為

6L

v0

    （3）小球運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲-2所示．

點(diǎn)評(píng)：考查粒子在電場(chǎng)力與重力的勻速直線運(yùn)動(dòng)，及在電場(chǎng)力、磁場(chǎng)力與重力共同作用下的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握受力平衡的條件，理解幾何關(guān)系在題目中的應(yīng)用．注意左手定則中運(yùn)動(dòng)的電荷的正負(fù)電性．