Question

如圖所示，與紙面垂直的豎直面MN的左側(cè)空間中存在豎直向上場強(qiáng)大小為E的勻強(qiáng)電場（上、下及左側(cè)無界）．一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q=mg/E的可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電小球，在t=0時(shí)刻以大小為V₀的水平初速度向右通過電場中的一點(diǎn)P，當(dāng)t=t₁時(shí)刻在電場所在空間中加上一如圖所示隨時(shí)間周期性變化的磁場，使得小球能豎直向下通過D點(diǎn)，D為電場中小球初速度方向上的一點(diǎn)，PD間距為L，D到豎直面MN的距離DQ為L/π．設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直紙面向里為正．
（1）如果磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀為已知量，試推出滿足條件時(shí)t₁的表達(dá)式（用題中所給物理量的符號表示）
（2）若小球能始終在電場所在空間做周期性運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期最大時(shí)，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀及運(yùn)動(dòng)的最大周期T的大�。�
（3）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期最大時(shí)，在圖中畫出小球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡．

Answer 1

當(dāng)小球進(jìn)入電場時(shí)：mg=Eq將做勻速直線運(yùn)動(dòng)
（1）在t₁時(shí)刻加入磁場，小球在時(shí)間t₀內(nèi)將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)周期為T₀
若豎直向下通過D點(diǎn)，由圖甲1分析可知必有以下兩個(gè)條件：
t₀=

3

4

T₀
PF-PD=R  即：V₀t₁-L=R
qV₀B₀=

m v 20

qB0

所以：V₀t₁-L=

mv0

qB0

t₁=

L

v0

+

m

qB0

 
（2）小球運(yùn)動(dòng)的速率始終不變，當(dāng)R變大時(shí)，T₀也增加，小球在電場中的運(yùn)動(dòng)的周期T增加，
在小球不飛出電場的情況下，當(dāng)T最大時(shí)有：
DQ=2R   
 

L

π

=2

mv0

qB0

B₀=

2πmv0

qL

T₀=

2πR

v0

=

2πm

qB0

=

L

v0

 
由圖分析可知小球在電場中運(yùn)動(dòng)的最大周期：
T=8×

3

4

T0=

6L

v0

 
（3）如圖



答：（1）推出滿足條件時(shí)t₁的表達(dá)式t₁=

L

v0

+

m

qB0

；
（2）則出磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀及運(yùn)動(dòng)的最大周期T的大小8×

3

4

T0=

6L

v0

．
（3）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期最大時(shí)，在圖中畫出小球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡如上圖所示．