Question

10．光滑水平面與一半徑為R=2.5m的豎直光滑圓軌道平滑連接如圖所示，物體可以由圓軌道底端閥門(mén)（圖中未畫(huà)出）進(jìn)入圓軌道，水平軌道上有一輕質(zhì)彈簧，其左端固定在墻壁上，右端與質(zhì)量為m=0.5kg的小球A接觸但不相連，今向左推小球A壓縮彈簧至某一位置后，由靜止釋放小球A，測(cè)得小球A到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)是對(duì)軌道的壓力大小為F_N=10N，g=10m/s²，（小球A可視為質(zhì)點(diǎn)）
（1）求彈簧的彈性勢(shì)能E_p；
（2）若彈簧的彈性勢(shì)能E_p=25J，小球進(jìn)入圓軌道后閥門(mén)關(guān)閉，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明小球會(huì)不會(huì)脫離軌道．若脫離，求在軌道上何處脫離（脫離點(diǎn)和圓心連接與水平方向的夾角可用三角函數(shù)表示），若不能脫離，求小球?qū)�軌道的最大與最小壓力的差△F．

Answer 1

分析 對(duì)小球在軌道最高點(diǎn)時(shí)受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列方程求出小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度，根據(jù)能量守恒定律求彈簧的彈性勢(shì)能；
若小球能通過(guò)最高點(diǎn)，則v≥$\sqrt{gR}$，由能量守恒定律求小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度，然后與臨界速度進(jìn)行比較．

解答 解： （1）小球到達(dá)最高點(diǎn)，由牛頓第二定律可得：
F_N+mg=m$\frac{v2}{R}$
以彈簧和小球?yàn)橄到y(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律可得：
E_p=$\frac{1}{2}$mv²+mg•2R 
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：E_p=43.75 J．
（2）若小球恰好能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則由機(jī)械能守恒定律可得：
E_p1=$\frac{1}{2}$mv²+mg•2R
其中mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：E_p1=31.25 J  
若速度較小，則小球在圓心以下做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，也不會(huì)脫離軌道，有：
E_p2=mgR=12.5 J
綜上所述，小球不脫離圓軌道必須滿(mǎn)足：
E_p≥31.25 J或0＜E_p≤12.5 J．
故E_p=25 J時(shí)，小球一定會(huì)脫離圓軌道．
設(shè)小球在與圓心連線(xiàn)與水平方向夾角為θ處脫離軌道，速度大小為v′，可得：
mgsin θ=m$\frac{v′2}{R}$
由機(jī)械能守恒定律得：
E_p=mgR（1+sin θ）+$\frac{1}{2}$mv′²
聯(lián)立解得：sin θ=$\frac{2}{3}$．
θ=arcsin$\frac{2}{3}$
答：（1）彈簧的彈性勢(shì)能E_P為43.75J；
（2）若彈簧的彈性勢(shì)能E_P=25J，小球進(jìn)入圓軌道后閥門(mén)關(guān)閉，小球會(huì)脫離圓軌道，在軌道上與圓心連線(xiàn)與豎直方向成arcsin$\frac{2}{3}$處脫離．

點(diǎn)評(píng) 本題是能量守恒與牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用，來(lái)處理圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題．利用功能關(guān)系解題的優(yōu)點(diǎn)在于不用分析復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，只關(guān)心初末狀態(tài)即可，平時(shí)要加強(qiáng)訓(xùn)練深刻體會(huì)這一點(diǎn)．