Question

2．同重力場作用下的物體具有重力勢能一樣，萬有引力場作用下的物體同樣具有引力勢能．若取無窮遠處引力勢能為零，物體距星球球心距離為r時的引力勢能為E_p=-G$\frac{{m}_{0}m}{r}$（G為引力常量），設(shè)宇宙中有一個半徑為R的星球，宇航員在該星球上以初速度v₀豎直向上拋出一個質(zhì)量為m的物體，不計空氣阻力，經(jīng)t秒后物體落回手中．
（1）求該星球的第一宇宙速度；
（2）在該星球表面以多大的初速度豎直拋出一個物體，物體將不再落回星球表面．

Answer 1

分析 （1）宇航員在該星球上以初速度v₀豎直向上拋出一個質(zhì)量為m的物體，物體是豎直上拋運動，根據(jù)速度時間關(guān)系公式列式求解重力加速度；然后根據(jù)重力等于向心力列式求解第一宇宙速度；
（2）根據(jù)能量守恒定律列式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)該星球表面附近的重力加速度為g′，物體豎直上拋運動有：v₀=$\frac{g′t}{2}$，故：
g′=$\frac{2{v}_{0}}{t}$
設(shè)繞星球表面做圓周運動的衛(wèi)星的速度為v₁，則：
mg′=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：
v₁=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$
（2）從星球表面豎直拋出物體至無窮遠速度為零的過程，有：
$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$+E_p=0
即$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$=G$\frac{m{m}_{0}}{R}$
解得：
v₂=2$\sqrt{\frac{{v}_{0}R}{t}}$
答：（1）該星球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$；
（2）在該星球表面以2$\sqrt{\frac{{v}_{0}R}{t}}$的初速度豎直拋出一個物體，物體將不再落回星球表面．

點評 解決本題的關(guān)鍵理解第一宇宙速度，掌握豎直上拋運動的規(guī)律，并能讀懂題給予的信息，運用能量守恒求解速度問題．