Question

（20分）質(zhì)量為m的一簇離子在P點(diǎn)以同一速度v向不同方向散開（如圖）。垂直紙面的均勻磁場B將這些離子聚焦于R點(diǎn)，距離PR＝2a，離子的軌道應(yīng)是對稱的。試確定磁場區(qū)的邊界。

Answer 1

解析：在磁場B中，作用于電量為Q、速度為v的質(zhì)點(diǎn)上的洛侖茲力為QvB。結(jié)果使粒子在半徑為r的圓軌道上運(yùn)動，即：

　　

質(zhì)量為m的所有粒子都在半徑為的相同的圓軌道上運(yùn)動。離開磁場后，它們將沿最后的切線方向直線飛行。磁場邊界應(yīng)按所有離子都打在同一點(diǎn)R的要求去尋找。要解決的數(shù)學(xué)問題是，粒子應(yīng)從這些半徑為r的圓的何處離開，才能使它們的切線在R點(diǎn)相交。這些半徑為r的圓的圓心都位于y軸上（如圖1所示）

在半徑為r的圓軌道上運(yùn)動的粒子，在坐標(biāo)為（x，y）的A點(diǎn)離開磁場，沿切線飛向R。由相似三角形得到：　　　　　　            

　              

圓的方程為

消去（y－b），得到滿足條件的A點(diǎn)的集合，因此，表示磁場邊界的函數(shù)為：

　　　　　　

這是一個四次函數(shù)。只要在第一象限畫出這個函數(shù)的曲線，把它對y軸反演即可。

表示磁場邊界的函數(shù)的形式取決于給定的距離a和半徑r的相對大�。ㄒ妶D2（a），（b），（c））。

　　如果半徑r小于a（小速度強(qiáng)磁場），則磁場邊界無限延伸，向任何方向出發(fā)的離子也都能聚焦^①。

　　如果半徑r等于a，所有的離子也都能聚焦^②。磁場邊界在P和R點(diǎn)處垂直出發(fā)，處在有限的范圍內(nèi)。

如果半徑r大于a，邊界更為平坦。那些出發(fā)方向比P點(diǎn)切線更陡的離子不能達(dá)到R點(diǎn)。

（注：^①原文“向任何方向出的離子都能聚焦”的結(jié)論不妥。在r＜a時，v與x軸夾角大于90⁰的離子無法聚焦。^②在r＝a時，“所有的離子也都能聚焦” 的結(jié)論也不妥。v與x軸夾角大于90⁰的離子也無法聚焦。）