Question

17．如圖所示，MN、PQ為間距L=0.5m足夠長的平行導(dǎo)軌，NQ⊥MN．導(dǎo)軌平面與水平面間的夾角θ=37°，NQ間連接有一個(gè)R=5Ω的電阻．有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀=1T．將一根質(zhì)量為m=0.05kg的金屬棒ab緊靠NQ放置在導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)軌與金屬棒的電阻均不計(jì)．現(xiàn)由靜止釋放金屬棒，金屬棒沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)過程中始終與NQ平行．已知金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，當(dāng)金屬棒滑行至cd處時(shí)已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定速度，cd距離NQ為s=2m．試解答以下問題：（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）當(dāng)金屬棒滑行至cd處時(shí)回路中的電流多大？
（2）當(dāng)金屬棒滑行至cd處時(shí)回路中產(chǎn)生的焦耳熱是多少？
（3）若將金屬棒滑行至cd處的時(shí)刻記作t=0，從此時(shí)刻起，讓磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸減小，可使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)怎樣隨時(shí)間t變化（寫出B與t的關(guān)系式）？

Answer 1

分析 （1）對(duì)金屬棒進(jìn)行受力分析，達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)，即為做勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件列出等式求解電流．
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律求出金屬棒穩(wěn)定時(shí)的速度．重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為動(dòng)能、摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能和回路中產(chǎn)生的焦耳熱．再根據(jù)能量守恒求解焦耳熱．
（3）要使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則穿過線框的磁通量不變．同時(shí)棒受到重力、支持力與滑動(dòng)摩擦力做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．從而可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)怎樣隨時(shí)間t變化的．

解答 解：（1）金屬棒達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有 mgsinθ=F_A+μmgcosθ
又安培力 F_A=B₀IL
聯(lián)立得 $I=\frac{{mg（{sin{{37}°}-μcos{{37}°}}）}}{{{B_0}L}}=\frac{{0.05×10×（{0.6-0.5×0.8}）}}{1×0.5}=0.2A$
（2）穩(wěn)定時(shí)金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=B₀Lv
感應(yīng)電流 $I=\frac{E}{R}$
聯(lián)立得穩(wěn)定時(shí)金屬棒的速度：$v=\frac{IR}{{{B_0}L}}=\frac{0.2×5}{1×0.5}m/s=2m/s$
根據(jù)能量守恒得：
  E=mgsin37°s-μmgcos37°s-$\frac{1}{2}$mv²=0.1J
（3）當(dāng)回路中的總磁通量不變時(shí)，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流．此時(shí)金屬棒將沿導(dǎo)軌做勻加速運(yùn)動(dòng)．
根據(jù)牛頓第二定律得 mgsinθ-μmgcosθ=ma
則 a=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）m/s²=2m/s²；
由題意得 ${B_0}Ls=BL（{s+vt+\frac{1}{2}a{t^2}}）$
則B=$\frac{{{B_0}s}}{{s+vt+\frac{1}{2}a{t^2}}}=\frac{2}{{{t^2}+2t+2}}$T     
答：
（1）當(dāng)金屬棒滑行至cd處時(shí)回路中的電流是0.2A．
（2）當(dāng)金屬棒滑行至cd處時(shí)回路中產(chǎn)生的焦耳熱是0.1J．
（3）B與t的關(guān)系式為B=$\frac{2}{{t}^{2}+2t+2}$T．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓運(yùn)動(dòng)定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式，還有能量守恒．同時(shí)當(dāng)金屬棒速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，則一定是處于平衡狀態(tài)，原因是安培力受到速度約束的．還巧妙用磁通量的變化去求出面積從而算出棒的距離．最后線框的總磁通量不變時(shí)，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流是解題的突破點(diǎn)．