Question

4．如圖所示為某一儀器的部分原理示意圖，虛線OA、OB關(guān)于y軸對(duì)稱，∠AOB=90°，OA、OB將xOy平面分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域，區(qū)域Ⅰ、Ⅲ內(nèi)存在水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等、方向相反．帶電粒子自x軸上的粒子源P處以速度v₀沿y軸正方向射出，經(jīng)時(shí)間t到達(dá)OA上的M點(diǎn)，且此時(shí)速度與OA垂直．不計(jì)粒子的重力．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；
（2）為使粒子能從M點(diǎn)經(jīng)Ⅱ區(qū)域通過OB上的N點(diǎn)，M、N點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，可在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加一垂直xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，求該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值和粒子經(jīng)過區(qū)域Ⅲ到達(dá)x軸上Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（3）當(dāng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度�。�2）問中的最 小值時(shí)，且該磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)．由于某種原因的影響，粒子經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)的速度并不嚴(yán)格與OA垂直，成散射狀，散射角為θ，但速度大小均相同，如圖所示，求所有粒子經(jīng)過OB時(shí)的區(qū)域長度．

Answer 1

分析 （1）粒子在Ⅰ區(qū)域做類平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解，即可求得電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）使粒子通過N點(diǎn)且磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，則粒子在Ⅱ內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑R=OM，粒子經(jīng)N點(diǎn)后進(jìn)入Ⅲ區(qū)域，做勻變速曲線運(yùn)運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)分解知識(shí)求得到達(dá)x軸上Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（3）該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑r等于其軌跡圓半徑R，分別作出兩邊緣狀態(tài)的軌跡圖，由幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）粒子在Ⅰ區(qū)域內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，Lsin45°=v₀t
$\frac{{v}_{0}}{tan45°}=\frac{Eq}{m}t$
$t=\frac{\sqrt{2}L}{2{v}_{0}}$
E=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{qL}$
（2）粒子在Ⅱ區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑r_大=L
又因?yàn)?qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
$v=\sqrt{2}{v}_{0}$
B_小=$\frac{{\sqrt{2}mv}_{0}}{qL}$
粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)域后，其運(yùn)動(dòng)軌跡NQ與PM對(duì)稱，則
水平位移$x=\frac{{v}_{0}}{2}t$
又$t=\frac{\sqrt{2}L}{2{v}_{0}}$
所以$x=\frac{\sqrt{2}}{4}L$${x}_{Q}=\overline{O}\overline{Q}=O\overline{P}=\frac{\sqrt{2}}{2}L+x=\frac{\sqrt{2}}{2}L+\frac{\sqrt{2}}{4}L$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}L$
（3）該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑r等于其軌跡圓半徑R，即r=R=L  
所有粒子出磁場(chǎng)時(shí)速度方向平行，其落點(diǎn)在直線OB上的GH兩點(diǎn)之間，如圖
GH=2rsinθ=2Lsinθ  

答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（2）該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值是$\frac{{\sqrt{2}mv}_{0}}{qL}$，粒子經(jīng)過區(qū)域Ⅲ到達(dá)x軸上Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{3\sqrt{2}}{4}L$；
（3）所有粒子經(jīng)過OB時(shí)的區(qū)域長度2Lsinθ

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵理清粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，以及運(yùn)動(dòng)的情況，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．