Question

14．如圖甲所示，在勁度系數為k的輕彈簧下掛一個質量為m的物體，將物體從彈簧原長處無初速釋放；圖乙所示的物體和彈簧與圖甲中完全相同，用手托著物體從彈簧原長處緩緩下落，直至手離開物體后，物體處于靜止．（不考慮空氣阻力）
（1）簡要說明圖甲中的物體被釋放后做什么運動；
（2）做出圖乙中手對物體的支持力F隨物體下降位移x變化的示意圖，借助F-x圖象求支持力F做的功的大��；
（3）利用彈力做功只和始末位置有關的特點，求圖甲中物體運動的最大速度．

Answer 1

分析 （1）物體被釋放后做簡諧運動．
（2）物體運動過程中，受到重力、手的支持力和彈簧的彈力，物體緩慢下降時，受力平衡，根據平衡條件和胡克定律求出F與x的關系式，再作出F-x圖象，根據圖象與坐標軸所圍的面積求拉力做的功．
（3）當彈簧的彈力與重力平衡時，物體的速度最大，由此可得到彈簧的伸長量，再由動能定理求解最大速度．

解答 解：（1）圖甲所示物體被釋放后做簡諧運動．
（2）圖乙中物體受重力mg、彈簧彈力f和支持力F，因為緩緩下落時，物體受力平衡
所以對任意位置滿足  F=mg-kx ①
當下降位移x=0時，支持力F=mg；
當mg=kx，即下降位移$x=\frac{mg}{k}$時，支持力 F=0．
F-x圖象如答圖所示，圖線下所圍的面積等于支持力F做的功：$W=\frac{1}{2}mg\frac{mg}{k}=\frac{1}{2}\frac{{{m^2}{g^2}}}{k}$ ②
（3）圖甲所示物體運動過程中只受到重力和彈簧彈力，
在受力滿足mg=kx，即下降位移$x=\frac{mg}{k}$時，有最大速度v
對物體從釋放到有最大速度的過程應用動能定理，有$mgx-{W_彈}=\frac{1}{2}m{v^2}$ ③
因為圖甲與圖乙所示彈簧完全相同且彈簧彈力做的功只與始末位置有關，因此上式中的W_彈與圖乙所示過程中彈簧彈力做的功相等．
對圖乙所示過程應用動能定理mgx-W_彈-W=0 ④
得到 W_彈=$\frac{1}{2}\frac{{{m^2}{g^2}}}{k}$
代入③式，解得：圖甲中物體運動的最大速度：$v=g\sqrt{\frac{m}{k}}$．
答：
（1）圖甲中的物體被釋放后做簡諧運動；
（2）支持力F做的功的大小為$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$；
（3）圖甲中物體運動的最大速度為g$\sqrt{\frac{m}{k}}$．

點評 本題是簡諧運動的模型，關鍵要理解平衡位置的受力特點，知道拉力是支持力時，作出F-x圖象，圖象的面積表示功．