Question

19．小型登月器連接在航天站上，一起繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為月球半徑的3倍，某時(shí)刻，航天站使登月器減速分離，登月器沿如圖所示的橢圓軌道登月，在月球表面逗留一段時(shí)間完成科考工作后，經(jīng)快速啟動(dòng)仍沿原橢圓軌道返回，當(dāng)?shù)窃缕鞯谝淮位氐椒蛛x點(diǎn)時(shí)，登月器恰與航天站對(duì)接，忽略登月器快速啟動(dòng)和制動(dòng)時(shí)間，整個(gè)過程中航天站保持原軌道繞月運(yùn)行．已知月球表面的重力加速度為g，月球半徑為R，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則登月器可以在月球上停留的最短時(shí)間約為（　�。�

• A． 1.4π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• B． 1.7π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• C． 3.6π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• D． 4.7π$\sqrt{\frac{R}{g}}$

Answer 1

分析 對(duì)登月器和航天飛機(jī)依據(jù)開普勒第三定律列出等式，為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接，根據(jù)周期關(guān)系列出等式求解．

解答 解：設(shè)登月器和航天飛機(jī)在半徑3R的軌道上運(yùn)行時(shí)的周期為T，因其繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，所以應(yīng)用牛頓第二定律有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
r=3R
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=6π$\sqrt{\frac{3{R}^{3}}{GM}}$，
在月球表面的物體所受重力近似等于萬(wàn)有引力，
GM=gR²
所以T=6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$…①
設(shè)登月器在小橢圓軌道運(yùn)行的周期是T₁，航天飛機(jī)在大圓軌道運(yùn)行的周期是T₂．
對(duì)登月器和航天飛機(jī)依據(jù)開普勒第三定律分別有：$\frac{{T}^{2}}{（3R）^{3}}=\frac{{T}_{1}^{2}}{（2R）^{3}}=\frac{{T}_{2}^{2}}{（3R）^{3}}$
為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接，登月器可以在月球表面逗留的時(shí)間t應(yīng)滿足：
t=nT₂-T₁ ③（其中，n=1、2、3、…）…
聯(lián)立①②③得：t=6πn$\sqrt{\frac{3R}{g}}$-4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$（其中，n=1、2、3、…）
當(dāng)n=1時(shí)，登月器可以在月球上停留的時(shí)間最短，即：t=4.7π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 該題考查了萬(wàn)有引力定律及圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)公式的直接應(yīng)用，難度不大，屬于中檔題．