Question

16．小球P用長L=1m的細繩系著，在水平面內(nèi)繞O點做勻速圓周運動，其角速度ω=2πrad/s．另一質量m=1kg的小球Q放在高出水平面h=1.25m的粗糙水平槽上，槽與繩平行，小球Q與槽之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.1，槽的端點A在O點正上方．當小球P運動到圖示位置時，小球Q以初速度v₀向A點運動然后做平拋運動，Q落到水平面時P恰好與它相碰．（g取10m/s²）求：
（1）若P與Q相碰時還沒轉夠一周，則Q的初速度v₀和到達A的速度 v_A各為多少；
（2）若P與Q相碰時轉動的時間大于一個周期，求Q運動到A點的時間和相應的Q在桌面上滑行的距離分別滿足什么關系？

Answer 1

分析 （1）若沒轉夠一周，則P轉動正好是半周，由其周期可得轉動時間，結合Q的平拋規(guī)律，依據(jù)運動的等時性，可得，小球Q做平拋運動，由平拋規(guī)律可得Q的初速度v₀，進而可得到達A的速度v_A．
（2）若P與Q相碰時轉動的時間大于一個周期，則其轉動時間為（n+$\frac{1}{2}$）個周期，結合Q的平拋規(guī)律，依據(jù)運動的等時性，可得Q的初速度v₀，進而求Q運動到A點的時間和相應的Q在桌面上滑行的距離關系．

解答 解：
（1）小球Q做平拋運動，由平拋規(guī)律可得：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
L=v_At，
解得：
${v}_{A}=L\sqrt{\frac{g}{2h}}=1×\sqrt{\frac{10}{2×1.25}}=2m/s$．
t=0.5s，
小球的加速度為：
a=μg=0.1×10=1m/s²，
由運動學：
v_A=v₀-at₁，
解得：
v₀=2+t₁，
又若P與Q相碰時還沒轉夠一周，則P轉動正好是半周，則其平拋運動時間為半個周期：
${t}_{0}=\frac{π}{ω}$=0.5s，
由題意：
t₀=t+t₁，
解得：
t₁=0，
可得：
v₀=2m/s．
（2）若P與Q相碰時轉動的時間大于一個周期，則其轉動時間為（n+$\frac{1}{2}$）個周期，P的周期為$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2π}=1s$，對Q依據(jù)平拋運動規(guī)律有：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
L=v₀t
Q運動到A點的時間為t₂，則：
$（n+\frac{1}{2}）×1=0.5+{t}_{2}$，
解得：
t₂=ns，（n=1、2、3…）．
Q在桌面上滑行的距離：
$x={v}_{0}{t}_{2}-\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}$=$2n-\frac{1}{2}{n}^{2}$，（n=1、2、3…）．
答：
（1）若P與Q相碰時還沒轉夠一周，則Q的初速度v₀=2m/s到達A的速度v_A=2m/s；
（2）若P與Q相碰時轉動的時間大于一個周期，Q運動到A點的時間為ns，（n=1、2、3…），
相應的Q在桌面上滑行的距離為$2n-\frac{1}{2}{n}^{2}$，（n=1、2、3…）．

點評 該題的關鍵是用好運動的等時性，以及掌握熟練平拋的運動規(guī)律，其中運動的等時性在相遇問題中尤其重要．