Question

11．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零．假設(shè)地球是一半徑為R，質(zhì)量分布均勻的球體．一個礦井深度為d，求礦井底部和地球表面處的重力加速度大小之比．某同學(xué)的思考過程如下：
由等式GM=gR²（G為引力常量，M為地球質(zhì)量，R為地球半徑，g為地球表面處的重力加速度）變形后得到g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，則礦井底部的重力加速度g′與地球表面處的重力加速度g大小之比為$\frac{g′}{g}$=$\frac{{R}^{2}}{（R-d）^{2}}$．下列說法中正確的是（　�。�

• A． 該同學(xué)的答案是正確的
• B． 該同學(xué)的答案是錯誤的，因為等式GM=gR²不成立
• C． 該同學(xué)的答案是錯誤的，因為本題不能用等式GM=gR²求解
• D． 該同學(xué)的答案是錯誤的，本題雖然能用等式GM=gR²求解，但他分析問題時出現(xiàn)錯誤

Answer 1

分析 根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，礦井深度為d的井底的加速度相當(dāng)于半徑為R-d的球體在其表面產(chǎn)生的加速度，根據(jù)地球質(zhì)量分布均勻得到加速度的表達式，再根據(jù)半徑關(guān)系求解即可．

解答 解：該同學(xué)分析時隨明確在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，但是沒有理解“質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，固在深度為d的井底，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力”，所以才出現(xiàn)錯誤的答案，故ABC錯誤，D正確．
故選：D．

點評 抓住在地球表面重力和萬有引力相等，在礦井底部，地球的重力和萬有引力相等，要注意在礦井底部所謂的地球的質(zhì)量不是整個地球的質(zhì)量而是半徑為（R-d）的球體的質(zhì)量．