Question

14．如圖，半徑R=0.8m的光滑圓弧軌道固定在水平地面上，O為該圓弧的圓心，軌道上方的A處有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m=1kg的小物塊，小物塊由靜止開始下落后恰好沿切線進(jìn)入圓弧軌道．此后小物塊將沿圓弧軌道下滑，已知AO連線與水平方向的夾角θ=45°，在軌道末端C點(diǎn)緊靠一質(zhì)量M=3kg的長木板，木板上表面與圓弧軌道末端的切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑，小物塊與長木板間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，g取10m/s²．求：
（1）小物塊剛到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力；
（3）要使小物塊不滑出長木板，木板長度L至少為多少
（4）整個(gè)過程產(chǎn)生的熱量是多少？

Answer 1

分析 （1）小物塊從A處運(yùn)動到C點(diǎn)的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒．根據(jù)機(jī)械能守恒，得出小物塊滑到C點(diǎn)時(shí)的速度大小v_C．
（2）在C點(diǎn)小物塊受到重力和軌道對它的豎直向上的支持力，根據(jù)${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，計(jì)算出小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)軌道對小物塊的支持力的大小，再根據(jù)牛頓第三定律，得出小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力．
（3）小物塊滑上長木板，與長木板發(fā)生相對滑動的過程中，先對系統(tǒng)研究，運(yùn)用動量守恒定律mv_C=（M+m）v，求出小物塊和長木板的共同速度v；再對小物塊研究，運(yùn)用動能定理$-f{x}_{m}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，求出小物塊在該過程中相對于地面所發(fā)生的位移x_m；再對長木板，運(yùn)用動能定理$f{x}_{M}=\frac{1}{2}M{v}^{2}$，求出長木板在該過程中相對于地面所發(fā)生的位移x_M；則要使小物塊不滑出長木板，木板長度L至少為x_m-x_M．
（4）對全過程由功能關(guān)系進(jìn)行分析，則可明確增加的內(nèi)能值．

解答 解：（1）小物塊從A到C，機(jī)械能守恒，設(shè)在C點(diǎn)的速度為v_C
因?yàn)?mg×2R+0=0+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
所以${v}_{C}=\sqrt{4gR}=\sqrt{4×10×0.8}m/s=4\sqrt{2}m/s$
故小物塊剛到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為$4\sqrt{2}m/s$
（2）對小物塊，在C點(diǎn)受到重力和軌道對它的豎直向上的支持力．由牛頓第二定律得：
${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
則${F}_{N}=m\frac{{v}_{{C}^{2}}}{R}+mg$
=$1×\frac{（4\sqrt{2}）^{2}}{0.8}+1×10N$=50N
由牛頓第三定律得：小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力的大小為50N，方向豎直向下．
故小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力的大小為50N，方向豎直向下．
（3）設(shè)小物塊剛滑到木板右端時(shí)達(dá)到共同速度，大小為v
對系統(tǒng)，由動量守恒定律得：
mv_c=（M+m）v
則$v=\frac{m{v}_{C}}{M+m}$=$\frac{1×4\sqrt{2}}{3+1}m/s$=$\sqrt{2}m/s$
對小物塊，與長木板發(fā)生相對滑動的過程中，由動能定理得：
$-μmg{x}_{m}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
帶入數(shù)據(jù)解得：小物塊在該過程中相對于地面所發(fā)生的位移 x_m=5m
對長木板，與小物塊發(fā)生相對滑動的過程中，由動能定理得：
$μmg{x}_{M}=\frac{1}{2}M{v}^{2}$
帶入數(shù)據(jù)解得：長木板在該過程中相對于地面所發(fā)生的位移x_M=1m
長木板的長度至少為L=x_m-x_M=5m-1m=4m
（4）對全過程由功能關(guān)系可知：
Q=mg2R-$\frac{1}{2}$（M+m）v²=10×1.6-$\frac{1}{2}$×（1+3）×2=12J；
答：（1）小物塊剛到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為4$\sqrt{2}$m/s；
（2）小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力為50N；
（3）要使小物塊不滑出長木板，木板長度L至少為4m；
（4）整個(gè)過程產(chǎn)生的熱量是12J

點(diǎn)評 該題是一道綜合題，綜合運(yùn)用了機(jī)械能守恒定律、動能定理、動量守恒及牛頓第二定律等；題目過程較為復(fù)雜，并涉及多個(gè)物體，故在解答本題時(shí)要注意正確選擇研究對象，做好受力分析，并能正確且熟練運(yùn)用相應(yīng)的物理規(guī)律．