Question

13．如圖，水平地面上有一底部帶有小孔的絕緣彈性豎直擋板，擋板高h=9m，與擋板等高處有一水平放置的籃筐，筐口的中心離擋板s=3m，擋板的左側以及擋板上端與筐口的連線上方存在勻強磁場和勻強電場，磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度B=1T；質量m=1×10^-3kg、電荷量q=-1×10^-3C、直徑略小于小孔寬度的帶電小球（視為質點），以某一速度從底部小孔水平向左射入場中做勻速圓周運動，若小球與檔板碰后以原速率反向彈回，且碰撞時間不計，碰撞時電荷量不變，小球最后都能從筐口的中心處落入筐中，g=10m/s²，求：
（1）電場強度的大小與方向；
（2）小球做圓周運動的周期及最大半徑；
（3）小球運動的最小速率．

Answer 1

分析 （1）小球做勻速圓周運動，故電場力與重力平衡，根據平衡條件列式求解；
（2）洛倫茲力提供向心力，故半徑越大，速度越大，當小球不與擋板相碰直接飛入框中，其運動半徑最大，根據幾何關系求解出半徑．根據周期公式求出小球做圓周運動的周期．
（3）根據幾何關系求出粒子的最小半徑，根據半徑公式求出最小速率的大小．

解答 解：（1）因小球能做勻速圓周運動，所以有：Eq=mg
解得：E=$\frac{mg}{q}=\frac{1{0}^{-2}}{1{0}^{-3}}N/C=10N/C$，
方向豎直向下．
（2）小球做勻速圓周運動，由洛侖茲力提供向心力，有：
qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
周期T═$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}=\frac{2π×1{0}^{-3}}{1{0}^{-3}×1}s$=6.28s．

小球不與擋板相碰直接飛入框中，其運動半徑最大，如圖1所示，由幾何知識可得：
（h-R_m）²+s²=R_m²
求得：最大半徑 R_m=5m．
（3）因為速度方向與半徑方向垂直，圓心必在檔板的豎直線上
R≥s=3m
設小球與檔板碰撞n次，其最大半徑為 要擊中目標必有：$\frac{h}{n}≥3$
h=9m，代入解得 n≤1.5
n只能取0，1
當n=0，即為（2）問中的解
當n=1，時可得：
（h-3R）²+s²=R²
（9-3R）²+3²=R²
解得：R₁=3m，R₂=3.75m
R₁=3m時半徑最小，其運動軌跡如圖2中的軌跡①所示，有：
$q{v}_{min}B=m\frac{{{v}_{min}}^{2}}{{R}_{1}}$
可得最小速率 v_min=3m/s．
答：（1）電場強度的大小為10N/C，方向為豎直向下；
（2）小球做圓周運動的周期為6.28s，最大半徑為5m；
（3）小球運動的最小速率為3m/s．

點評 本題關鍵明確小球的運動規(guī)律，找到向心力來源，畫出軌跡，然后根據幾何關系求解半徑，再聯立方程組求解