Question

無風(fēng)的情況下，在離地面高為H處，將質(zhì)量為m的球以速度v₀水平拋出，已知球在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的阻力f=kv，v是球的速度，k是已知的常數(shù)，阻力的方向與速度方向相反，并且球在著地前已經(jīng)豎直向下做勻速運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g．
（1）求球剛拋出時(shí)加速度大��；
（2）求球從拋出到著地過程中克服空氣阻力做的功；
（3）若有一個(gè)與上述相同的球從同一地點(diǎn)由靜止釋放，試比較兩球落地所需時(shí)間和著地時(shí)的速度，并簡(jiǎn)述理由．

Answer 1

分析：（1）小球剛拋出時(shí)的速度為v₀，可以求出小球所受阻力的大小和方向，由于小球只受重力和阻力可以求出小球所受的合力，根據(jù)牛頓第二定律可以求出小球的加速度大小；
（2）小球最終豎直方向勻速下落，根據(jù)受力平衡可以求出小球所受的阻力，再根據(jù)阻力與速度的關(guān)系可以求出小球落地速度大小，在小球落地過程中只有重力和阻力做功，已知重力做功的情況下可以求出阻力做功；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，平拋的小球在豎直方向的運(yùn)動(dòng)與自由落體運(yùn)動(dòng)的小球在豎直方向的運(yùn)動(dòng)情況相同，從而展開分析即可．

解答：解：（1）小球剛拋出時(shí)受到的合力  F=

m2g2+k2 v 2 0

根據(jù)牛頓第二定律可得球剛拋出時(shí)的加速度大小a=

F

m

=

m2g2+k2 v 2 0

m

（2）球最終豎直向下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)此時(shí)速度為v，則mg=kv
設(shè)球從拋出到著地過程中克服空氣阻力做的功為W，由動(dòng)能定理有mgH-W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得  W=mgH+

1

2

m

v

2 0

-

m3g2

2k2

（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，在豎直方向都是從靜止開始的運(yùn)動(dòng)，受到的合力均為F_y=mg-kv_y，加速度均為ay=g-

kvy

m

，故在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)的情況是相同的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，著地時(shí)速度都是v=

mg

k

．
答：（1）小球剛拋出時(shí)的加速度大小為

m2g2+k2 v 2 0

m

；
（2）小球克服空氣阻力做功W=mgH+

1

2

m

v

2 0

-

m3g2

2k2

；
（3）小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，落地速度亦相同．

點(diǎn)評(píng)：掌握矢量合成的平行四邊形定則和分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性是解決本題的關(guān)鍵．