Question

1．質(zhì)量為m的機車頭拖著質(zhì)量均為m的n節(jié)車廂在平直軌道上以速度v勻速行駛，行駛中后面有一節(jié)車廂脫落，待脫落車廂停止運動時后面又有一節(jié)車廂脫落，各節(jié)車廂按此方式依次脫落，整個過程中機車頭的牽引力保持不變，求：全部車廂脫落并停止運動時機車頭的速度大小為多少？

Answer 1

分析 最后面一節(jié)車廂脫落后，根據(jù)牛頓第二定律求解機車頭和剩下的車廂的加速度．
根據(jù)速度公式求出最后面一節(jié)車廂從脫落到停止運動的時間，再求解機車頭和剩下的車廂的速度．
采用同樣的方法求出第二節(jié)車廂脫離、第三節(jié)車廂脫離…等等停止運動時，機車頭和剩下的車廂的速度，總結(jié)規(guī)律，得出全部車廂脫落并停止運動時，機車頭的速度．

解答 解：設(shè)車頭和車廂受到的摩擦力均為f，則勻速運動時的牽引力：F=（n+1）f，
最后面一節(jié)車廂脫落后，根據(jù)牛頓第二定律得機車頭和剩下的車廂的加速度為：a₁=$\frac{F-nf}{nm}$
聯(lián)立得：a₁=$\frac{f}{nm}$
最后面一節(jié)車廂脫落后，加速度大小為：a′=$\frac{f}{m}$
最后面一節(jié)車廂從脫落到停止運動的時間為：t₁=$\frac{v}{a′}$=$\frac{mv}{f}$，
則當它停止運動時，機車頭和剩下的車廂的速度為：v₁=v+a₁t₁=v+$\frac{f}{nm}•\frac{mv}{f}$=$\frac{1+n}{n}v$
同理第二節(jié)車廂脫離后有：
v₂=v₁+a₂t₂=${v}_{1}+\frac{2f}{（n-1）m}$$•\frac{m{v}_{1}}{f}$=$\frac{（1+n）{v}_{1}}{n-1}$=$\frac{（1+n）^{2}v}{n（n-1）}$
第三節(jié)車廂脫離：
v₃=v₂+a₃t₃=${v}_{2}+\frac{3f}{（n-2）m}$$•\frac{m{v}_{2}}{f}$=$\frac{（1+n）{v}_{2}}{n-2}$=$\frac{（1+n）^{3}v}{n（n-1）（n-2）}$
…
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可得：v_n=$\frac{（1+n）^{n}}{n（n-1）（n-2）…2•1}$=$\frac{（1+n）^{n}v}{n!}$
答：全部車廂脫落并停止運動時，機車頭的速度是$\frac{（1+n）^{n}v}{n!}$．

點評 本題物理原理比較簡單，關(guān)鍵在于運用數(shù)學(xué)歸納法尋找規(guī)律，考查運用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力．