Question

14．一輛質量為1000kg的汽車在圓弧半徑為50m的拱橋上行駛．（g取10m/s²）
（1）若汽車到達橋頂時速度為v₁=5m/s，汽車對橋面的壓力是多大？
（2）汽車以多大速度經(jīng)過橋頂時，恰好對橋面沒有壓力？
（3）汽車對橋面的壓力過小是不安全的，因此汽車過橋時的速度不能過大．對于同樣的車速，拱橋圓弧的半徑大些比較安全，還是小些比較安全？
（4）如果拱橋的半徑增大到與地球半徑一樣大，汽車要在橋面上騰空，速度至少為多大？（已知地球半徑為6 400km）

Answer 1

分析 （1）在最高點重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式和牛頓第二定律可列式求解；
（2）汽車對橋恰好無壓力，重力完全提供向心力，根據(jù)向心力公式和牛頓第二定律可列式求解；
 （3）根據(jù)（1）可知；
（4）根據(jù)重力提供向心力求出汽車的速度，半徑為地球半徑．

解答 解：（1）如圖所示，汽車到達橋頂時，豎直方向受到重力G和橋對它的支持力N的作用．

汽車對橋頂?shù)膲毫Υ笮〉扔跇蝽攲ζ�車的支持力N，汽車過橋時做圓周運動，重力和支持力的合力提供向心力，即F=G-N；
根據(jù)向心力公式：F=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，有N=G-F=mg-m$\frac{{v}^{2}}{R}$=10000-1000×$\frac{{5}^{2}}{50}$=5000N．
故汽車對橋的壓力是5000N．
（2）汽車經(jīng)過橋頂恰好對橋沒有壓力而騰空，則N=0，即汽車做圓周運動的向心力完全由其自身重力來提供，所以有：
F=G=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×50}$=10$\sqrt{5}$m/s．
故汽車以10$\sqrt{5}$m/s速度經(jīng)過橋頂時便恰好對橋沒有壓力而騰空．
（3）根據(jù)N=G-F=mg-m$\frac{{v}^{2}}{R}$知R越大，壓力N越大，故拱橋圓弧的半徑大些比較安全；
（4）由G=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×6400×1{0}^{3}}$=8×10³m/s
答：（1）若汽車到達橋頂時速度為v₁=5m/s，汽車對橋面的壓力是5000N；
（2）汽車以10$\sqrt{5}$m/s經(jīng)過橋頂時，恰好對橋面沒有壓力；
（3）汽車對橋面的壓力過小是不安全的，因此汽車過橋時的速度不能過大．對于同樣的車速，拱橋圓弧的半徑大些比較安全．
（4）如果拱橋的半徑增大到與地球半徑一樣大，汽車要在橋面上騰空，速度至少為8×10³m/s；

點評 本題關鍵找出車經(jīng)過橋的最高點時的向心力來源，然后根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列式求解．