Question

6．如圖1所示，一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)=1m、高度為h=0.8m的長(zhǎng)木板靜止在水平地面上，其質(zhì)量M=0.4kg，一質(zhì)量m=0.1kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）放置在其上表面的最右端．物塊與長(zhǎng)木板，長(zhǎng)木板與地面之間動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．現(xiàn)給長(zhǎng)木板施加一個(gè)水平向右持續(xù)作用的外力F．

（1）若F恒為4N，試求長(zhǎng)木板的加速度大小；
（2）若F恒為5.8N，試判斷物塊是否能從長(zhǎng)木板上掉下，如能，請(qǐng)求出小物塊落地時(shí)距長(zhǎng)木板左端的距離；如不能，求出物塊距長(zhǎng)木板右端的距離；
（3）若F=kt，k＞0，在t=0時(shí)刻到物塊剛滑落時(shí)間內(nèi)，試定性畫出物塊與長(zhǎng)木板間摩擦力大小隨時(shí)間變化的圖線（圖2），無需標(biāo)注時(shí)間以及力的大小．

Answer 1

分析 （1）通過隔離法和整體法，運(yùn)用牛頓第二定律求出發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的臨界拉力大小，從而判斷物體與長(zhǎng)木板是否發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，若不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，對(duì)整體分析，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度．
（2）若發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律分別求出各自的加速度，結(jié)合位移時(shí)間公式求出滑離的時(shí)間，從而得出滑離時(shí)物塊和木板的速度，物塊離開木板后做平拋運(yùn)動(dòng)，木板在拉力作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出勻加速運(yùn)動(dòng)的位移，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移求出物塊離長(zhǎng)木板左端的距離．
（3）當(dāng)拉力較小時(shí)，物塊和長(zhǎng)木板靜止在地面上，兩者之間的摩擦力為零，當(dāng)拉力達(dá)到一定程度，一起做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)拉力再大到一定程度，兩者發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，從而定性地畫出摩擦力隨時(shí)間的變化圖線．

解答 解：（1）對(duì)長(zhǎng)木板與物塊，假設(shè)相對(duì)靜止時(shí)，最大加速度${a_0}=\frac{μmg}{m}=5m/{s^2}$
由牛頓第二定律F₀-μ（M+m）g=（M+m）a₀，得 F₀=5N（1分）
F=4N＜F₀，可知物塊和長(zhǎng)木板保持相對(duì)靜止，整體的加速度a=$\frac{F-μ（M+m）g}{M+m}=\frac{4-0.5×5}{0.5}m/{s}^{2}=3m/{s}^{2}$．
（2）F=5.8N＞5N，
可知物塊能從長(zhǎng)木板上掉下．
長(zhǎng)木板的加速度${a}_{1}=\frac{F-μ（M+m）g-μmg}{M}$=$\frac{5.8-0.5×5-0.5×1}{0.4}m/{s}^{2}=7m/{s}^{2}$，
物塊的加速度${a}_{2}=\frac{μmg}{m}=μg=5m/{s}^{2}$，
設(shè)經(jīng)過t時(shí)間物塊滑離長(zhǎng)木板，有：$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=L$，代入數(shù)據(jù)解得t=1s．
滑離木板時(shí)木板的速度v₁=a₁t=7×1m/s=7m/s，物塊的速度v₂=a₂t=5×1m/s=5m/s，
物塊離開木板做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$，
物塊離開木板后，木板的加速度${a}_{3}=\frac{F-μMg}{M}=\frac{5.8-0.5×4}{0.4}m/{s}^{2}$=9.5m/s²，
在平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，木板的位移${x}_{1}={v}_{1}{t}_{1}+\frac{1}{2}{a}_{3}{{t}_{1}}^{2}=7×0.4+\frac{1}{2}×9.5×0.16m$=3.56m，
平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移x₂=v₂t₁=5×0.4m=2m，
則小物塊落地時(shí)距長(zhǎng)木板左端的距離△x=x₁-x₂=3.56-2m=1.56m．
（3）長(zhǎng)木板和地面間的最大靜摩擦力f_m=μ（M+m）g=0.5×5N=2.5N，可知F=kt＜2.5N時(shí)，物塊和木板處于靜止，無相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，摩擦力為零．
2.5N＜F≤5N時(shí)，物塊和長(zhǎng)木板保持相對(duì)靜止，f=ma=$m\frac{kt-μ（M+m）g}{M+m}=\frac{mk}{M+m}t-μmg$，摩擦力隨時(shí)間均增大．
當(dāng)F＞5N，物塊與長(zhǎng)木板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，f=μmg=0.5×1N=0.5N．f-t圖線如圖所示．
答：（1）長(zhǎng)木板的加速度大小為3m/s²；
（2）能，小物塊落地時(shí)距長(zhǎng)木板左端的距離為1.56m．
（3）摩擦力大小與時(shí)間的關(guān)系圖線如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了滑塊模型問題，實(shí)際上是牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵理清物塊和長(zhǎng)木板在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解．