Question

5．兩個正電荷q₁和q₂在某直角坐標下的位矢為r₁和r₂，將一負電荷q₃置于某一位置，使作用在這三個電荷上的靜電力都等于零，求q₃的電量和位矢r₃．

Answer 1

分析 解決本題一定要把握“每個電荷都處于平衡狀態(tài)”這一特點進行分析，已知兩個正電荷q₁和q₂和負電荷q₃，可以利用“兩同夾異，近小遠大”（三個電荷處于平衡時兩邊電性相同和中間相反，中間電荷離電量小的近，離電量大的遠）進行判斷．三個電荷處于同一直線上，每個電荷受兩個庫侖力作用處于平衡狀態(tài)，據(jù)此列方程即可求解．$\sqrt{{（{x}_{2}-{x}_{1}）}^{2}+{（{y}_{2}-{y}_{1}）}^{2}}$

解答 解：已知兩個正電荷q₁、q₂和負電荷q₃，根據(jù)“兩同夾異，近小遠大”可知q₃一定位于q₁和q₂連線的中間的某一處，
設(shè)q₁、q₂和q₃的坐標分別為：（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
則q₃在q₁和q₂連線的中間的合場強等于0的地方，
設(shè)負電荷到q₁和q₂的距離分別是L₁和L₂，則：
${L}_{1}+{L}_{2}=\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$
由點電荷產(chǎn)生的場強的公式：$E=\frac{kq}{{r}^{2}}$得：
$\frac{k{q}_{1}}{{L}_{1}^{2}}=\frac{k{q}_{2}}{{L}_{2}^{2}}$
所以：$\frac{{L}_{1}}{{L}_{2}}=\sqrt{\frac{{q}_{2}}{{q}_{1}}}$
聯(lián)立得：${L}_{1}=\frac{\sqrt{{（{x}_{2}-{x}_{1}）}^{2}+{（{y}_{2}-{y}_{1}）}^{2}}}{1+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}$
由幾何關(guān)系可得：${x}_{3}={x}_{1}+{L}_{1}•\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{\sqrt{{（{x}_{2}-{x}_{1}）}^{2}+{（{y}_{2}-{y}_{1}）}^{2}}}$=${x}_{1}+\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{1+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}$
同理：${y}_{3}={y}_{1}+\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{1+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}$
把的位置寫成矢量，代入x得到兩個解：${r}_{31}={r}_{1}+（{r}_{2}-{r}_{1}）•\frac{{q}_{1}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}$=$\frac{{q}_{2}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{1}$$+\frac{{q}_{1}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{2}$
或：${r}_{32}={r}_{1}+（{r}_{2}-{r}_{1}）•\frac{{q}_{1}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}$=$\frac{{q}_{2}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{1}+\frac{{q}_{1}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{2}$
答：q₃的電量和位矢是$\frac{{q}_{2}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{1}+\frac{{q}_{1}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{2}$或$\frac{{q}_{2}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{1}+\frac{{q}_{1}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{2}$

點評 本題考察了庫侖定律在電荷平衡中的應用，對于三個電荷平衡可以利用“兩同夾異，近小遠大”的規(guī)律進行電性判斷，本題的難點在于計算，學生列出方程容易，但是計算正確難．