Question

6．宇宙空間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為L．忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G．下列說法正確的是（　�。�

• A． 每顆星做圓周運動的線速度為$\sqrt{\frac{3Gm}{{L}^{3}}}$
• B． 每顆星做圓周運動的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)
• C． 若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍
• D． 若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍

Answer 1

分析 先寫出任意兩個星星之間的萬有引力，求每一顆星星受到的合力，該合力提供它們的向心力．
然后用R表達(dá)出它們的軌道半徑，最后寫出用周期和線速度表達(dá)的向心力的公式，整理即可的出結(jié)果．

解答 解：A、任意兩個星星之間的萬有引力F=$G\frac{mm}{{L}^{2}}$
每一顆星星受到的合力為：F₁=$\sqrt{3}$F
由幾何關(guān)系知：它們的軌道半徑為：r=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$…①
合力提供它們的向心力：$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{L}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$…②
聯(lián)立①②，解得：v=$\sqrt{\frac{Gm}{L}}$，故A錯誤；
B、根據(jù)$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{L}^{2}}=ma$得：a=$\frac{\sqrt{3}Gm}{{L}^{2}}$，故加速度與它們的質(zhì)量有關(guān)，故B錯誤；
C、根據(jù)$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{L}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$解得：T=$\frac{2}{3}π\(zhòng)sqrt{\frac{3{L}^{3}}{Gm}}$，若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍，故C正確；
D、根據(jù)v=$\sqrt{\frac{Gm}{L}}$可知，若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度不變，故D錯誤．
故選：C．

點評 解決該題首先要理解模型所提供的情景，然后能夠列出合力提供向心力的公式，才能正確解答題目．