Question

4．如圖甲所示，PQ為磁場(chǎng)與電場(chǎng)的分界線(xiàn)，勻強(qiáng)電場(chǎng)分布在xoy平面第一象限PQ分界線(xiàn)與y軸之間區(qū)域，方向沿y軸負(fù)向，在PQ與MN之間存在如圖乙所示周期性變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，PQ、MN與y軸平行．一帶正電粒子以v₀=5$\sqrt{3}$×10⁴m/s的速度從y軸上c點(diǎn)垂直于y軸飛入電場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)過(guò)x軸上a點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，又從x軸上b點(diǎn)飛出磁場(chǎng)區(qū)，粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)刻記為t=0，規(guī)定垂直xoy平面向里為磁場(chǎng)正方向，已知帶電粒子比荷為$\frac{q}{m}$=10⁸c/kg，重力不計(jì)，oc=0.25m，oa=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，ab=0.6m，周期性變化磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=10^-2T，求：
（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度v；
（2）變化磁場(chǎng)的周期（T）及粒子從c至b飛行時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住等時(shí)性求出豎直分速度，從而根據(jù)平行四邊形定則求出進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小和方向．
（2）根據(jù)半徑公式和周期公式求出粒子在磁場(chǎng)中的半徑和周期，作出運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)半徑的大小得出磁場(chǎng)變化的周期與粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期的關(guān)系，從而求出c到b的時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，有：v₀t=x_Oa，$\frac{{v}_{y}}{2}t={x}_{OC}$，
聯(lián)立兩式解得${v}_{y}=5×1{0}^{4}m/s$，
則粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$，代入數(shù)據(jù)解得v=10×10⁴=10⁵m/s，
則粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與x軸的夾角正弦值$sinθ=\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{1}{2}$，解得θ=30°．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=$\frac{mv}{q{B}_{0}}=\frac{1{0}^{5}}{1{0}^{8}×1{0}^{-2}}m=0.1m$，
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T′=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}=\frac{2π}{1{0}^{8}×1{0}^{-2}}=2π×1{0}^{-6}s$，
軌跡如圖所示，圓心角為60度，
由題意可知，$\frac{T}{2}=\frac{60}{360°}T′$，解得T=$\frac{2π}{3}×1{0}^{-6}s$．
圓弧與x軸相交的弦長(zhǎng)d=r=0.1m，
因?yàn)閤_ab=6d，
所以粒子從c到b的時(shí)間t=3T=2π×10^-6s．
答：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度為10⁵m/s．
（2）變化磁場(chǎng)的周期為$\frac{2π}{3}×1{0}^{-6}s$，粒子從c至b飛行時(shí)間為2π×10^-6s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，掌握處理類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的方法，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解，對(duì)于粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵確定圓心、半徑和圓心角，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．