Question

10．如圖所示，為一磁約束裝置的原理圖，圓心為O、半徑為R₁的圓形區(qū)域I內(nèi)有方向垂直xoy平面向外、大小為B₀的勻強(qiáng)磁場，環(huán)形區(qū)域Ⅱ有垂直于xoy平面向里、大小未知的勻強(qiáng)磁場，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為q的帶負(fù)電粒子以v₀=$\frac{q{B}_{0}{R}_{1}}{m}$的速度從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入磁場區(qū)域Ⅰ，然后經(jīng)x軸上的P點(diǎn)進(jìn)入環(huán)形磁場區(qū)域Ⅱ，且恰好不出區(qū)域Ⅱ的外邊界，偏轉(zhuǎn)后第1次射回區(qū)域Ⅰ時(shí)經(jīng)邊界上的Q點(diǎn)，已知OQ與x軸正方向成60°．不計(jì)重力和粒子間的相互作用．求：
（1）粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動的軌道半徑及經(jīng)P點(diǎn)時(shí)的速度方向；
（2）磁場區(qū)域Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小及外邊界的半徑；
（3）粒子從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入后至再次以相同的速度經(jīng)過A點(diǎn)的運(yùn)動周期．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出磁感應(yīng)強(qiáng)度，由幾何知識求出邊界半徑．
（3）求出粒子在磁場中的轉(zhuǎn)過的圓心角，根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動的周期公式求出粒子的周期．

解答 解：（1）設(shè)粒子在區(qū)域Ⅰ內(nèi)軌道半徑為r₁，
由牛頓第二定律得：qv₀ B₀=m$\frac{v_0^2}{r_1}$，
解得：r₁=$\frac{{m{v_0}}}{{q{B_0}}}$=R₁，
由圖知，粒子經(jīng)P點(diǎn)的速度沿x軸正方向．
（2）設(shè)磁場區(qū)域Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，外邊界的半徑為R，
粒子在區(qū)域Ⅱ中的軌道半徑為r₂，如圖，由幾何關(guān)系知：${r_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{R_1}$，
粒子軌道半徑：${r_2}=\frac{{m{v_0}}}{qB}$，
解得：B=$\sqrt{3}{B_0}$，
由幾何關(guān)系得：$R=2{r_2}+{r_2}=3{r_2}=\sqrt{3}{R_1}$；
（3）軌跡從A點(diǎn)到Q點(diǎn)對應(yīng)圓心角θ=90°+60°=150°，
要仍從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入，需滿足：
150n=360m（m、n屬于自然數(shù)）即取最小整數(shù)m=5，n=12，
$T=12×（\frac{1}{4}{T_1}+\frac{2}{3}{T_2}）$，
其中：${T_1}=\frac{2πm}{{q{B_0}}}，{T_2}=\frac{2πm}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)得：$T=（\frac{{16\sqrt{3}}}{3}+6）•\frac{πm}{{q{B_0}}}$；
答：（1）粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動的軌道半徑為R₁，經(jīng)P點(diǎn)時(shí)的速度方向沿x軸正方向；
（2）磁場區(qū)域Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\sqrt{3}$B₀，外邊界的半徑為$\sqrt{3}$R₁；
（3）粒子從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入后至再次以相同的速度經(jīng)過A點(diǎn)的運(yùn)動周期為（$\frac{16\sqrt{3}}{3}$+6）$\frac{πm}{q{B}_{0}}$．

點(diǎn)評 本題考查了粒子在磁場中的運(yùn)動，分析清楚粒子運(yùn)動過程，應(yīng)用牛頓第二定律與周期公式分析答題，作出粒子運(yùn)動軌跡有助于 解題．