Question

13．一條長(zhǎng)為l的細(xì)線上端固定在O點(diǎn)，下端系一個(gè)質(zhì)量為m的帶電小球，將它置于一個(gè)很大的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向水平向右，已知小球在B點(diǎn)時(shí)平衡，細(xì)線與豎直線的夾角為α，求：
（1）當(dāng)懸線與豎直方向的夾角為多大時(shí)，才能使小球由靜止釋放后，細(xì)線到豎直位置時(shí)，小球的速度恰好為零．
（2）當(dāng)細(xì)線與豎直方向成α角時(shí)，至少要給小球一個(gè)多大的沖量，才能使小球做圓周運(yùn)動(dòng)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小球在B點(diǎn)靜止，由平衡條件求出電場(chǎng)力大�。�小球由靜止釋放后運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)過程，根據(jù)動(dòng)能定理求解釋放時(shí)懸線與豎直方向的夾角．
（2）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到關(guān)于B對(duì)稱的A點(diǎn)時(shí)，恰好由重力和電場(chǎng)力的合力提供向心力時(shí)，小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出臨界速度，再由動(dòng)能定理求出小球的初速度，再由沖量和動(dòng)量關(guān)系確定．

解答 解：（1）小球靜止在B點(diǎn)時(shí)，根據(jù)平衡條件得
   qE=mgtanα
設(shè)從θ釋放，釋放點(diǎn)到最低點(diǎn)過程，根據(jù)動(dòng)能定理得
   mgL（1-cosθ）-FLsinθ=0
 得到：sinθtanα+cosθ=1，tanα=$\frac{1}{sinθ}-\frac{cosθ}{sinθ}=tg\frac{θ}{2}$，
解得：θ=2α，
（2）設(shè)當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到關(guān)于B對(duì)稱的A點(diǎn)時(shí)，臨界速度為v_A．根據(jù)牛頓第二定律得
 $\sqrt{（Eq）^{2}+（mg）^{2}}$=$m\frac{{v}_{A}^{2}}{L}$
解得：${v}_{A}^{2}=gL\sqrt{1+tg{α}^{2}}$
由A到B過程，根據(jù)動(dòng)能定理得
mg2Lcosα+Eq2Lsinα=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：v_B=$\sqrt{\frac{4gL}{cosα}+gL\sqrt{1+tg{α}^{2}}}$，
給小球的沖量：I=mv_B=m$\sqrt{\frac{4gL}{cosα}+gL\sqrt{1+tg{α}^{2}}}$，
答：（1）當(dāng)懸線與豎直方向的夾角為2α，才能使小球由靜止釋放后，細(xì)線到豎直位置時(shí)，小球的速度恰好為零．
（2）當(dāng)細(xì)線與豎直方向成α角時(shí)，至少要給小球一個(gè)m$\sqrt{\frac{4gL}{cosα}+gL\sqrt{1+tg{α}^{2}}}$的沖量，才能使小球做圓周運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在電場(chǎng)和重力場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題，分析受力情況是基礎(chǔ)．對(duì)于第（2）問找到類似于豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的條件是關(guān)鍵．