Question

如圖（a），平行金屬板A和B間的距離為d，它們的右端安放著靶MN（可金屬板右側(cè)上下移動(dòng)也可在紙面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)），現(xiàn)在A、B板上加上如圖（b）所示的方波形電壓，t=0時(shí)A板比B板的電勢(shì)高，電壓的正向值為U₀，反向值也為U₀．現(xiàn)有由質(zhì)量為m的帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，從AB的中點(diǎn)O以平行于金屬板方向OO′的速度大小為

3 qU0T

3dm

持續(xù)不斷射入，所有粒子在AB間的飛行時(shí)間均為T，且不會(huì)與金屬板相碰，不計(jì)重力影響．求：
（1）金屬板長(zhǎng)度；
（2）粒子飛出電場(chǎng)時(shí)位置離O′點(diǎn)的距離范圍；
（3）要使粒子能全部打在靶MN上，靶MN的長(zhǎng)度至少多大？

Answer 1

分析：（1）由題，粒子都垂直進(jìn)入電場(chǎng)中，平行于金屬板的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T，速度為v₀，可求出金屬板長(zhǎng)度．
（2）粒子由t=nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，加速度向下的時(shí)間是

2T

3

，加速度向上的時(shí)間是

T

3

，向下側(cè)移最大，而當(dāng)粒子由t=nT+

2

3

T時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，向上側(cè)移最大，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合可求出向上側(cè)移的最大值和向下側(cè)移的最大值，即可得到范圍．
（3）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度向下的時(shí)間是

2T

3

，加速度向上的時(shí)間是

T

3

，所有粒子離開電場(chǎng)時(shí)都有相同的豎直方向的速度，粒子離開電場(chǎng)時(shí)速度方向相同，由分解速度可求出粒子飛出電場(chǎng)時(shí)速度方向與v₀的夾角，結(jié)合粒子飛出電場(chǎng)時(shí)位置離O′點(diǎn)的距離范圍，即可求出靶MN的長(zhǎng)度最小值．

解答：解：（1）金屬板的長(zhǎng)度l=v₀t=

3 qU0T2

3dm

．
（2）當(dāng)粒子由t=nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，向下側(cè)移最大，則
  s₁=

qU0

2dm

?(

2T

3

)2+

qU0

dm

?(

2T

3

)?

T

3

-

qU0

2dm

(

T

3

)2=

7qU0T2

18dm

當(dāng)粒子由t=nT+

2

3

T時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，向上側(cè)移最大，則
  s₂=

qU0

2dm

(

T

3

)2=

qU0T2

18dm

  
所以，在距離O′中點(diǎn)下方

7qU0T2

18dm

至上方

qU0T2

18dm

范圍內(nèi)有粒子打出．
（3）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度向下的時(shí)間是

2T

3

，加速度向上的時(shí)間是

T

3

，所有粒子離開電場(chǎng)時(shí)都有相同的豎直方向的速度：
  vy=

qU0

md

?

2T

3

-

qU0

md

?

T

3

=

qU0T

3md

設(shè)粒子離開電場(chǎng)時(shí)速度方向與v₀的夾角為θ，
則cosθ=

v0

v02+vy2

=

3

2

即所有的粒子平行射出電場(chǎng)，如下圖所示，要使靶長(zhǎng)度最小，需要將靶垂直于粒子出射方向放置
靶長(zhǎng)最小值為  lmin=(

7qU0T2

18dm

+

qU0T2

18dm

)cosθ=

2 3 qU0T2

9dm

答：（1）金屬板長(zhǎng)度為

3 qU0T2

3dm

；
（2）粒子飛出電場(chǎng)時(shí)位置離O′點(diǎn)的距離范圍為：在距離O′中點(diǎn)下方

7qU0T2

18dm

至上方

qU0T2

18dm

；
（3）要使粒子能全部打在靶MN上，靶MN的長(zhǎng)度至少為

2 3 qU0T2

9dm

．

點(diǎn)評(píng)：本題粒子在周期性變化的電場(chǎng)中，要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法把握粒子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，也可以通過作v-t圖象分析粒子在豎直方向的運(yùn)動(dòng)情況再求解．