Question

13．如圖，xoy平面內(nèi)存在著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v₀沿x軸正方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．當(dāng)它經(jīng)過(guò)圖中虛線上的M（2$\sqrt{3}$a，a）點(diǎn)時(shí)，撤去電場(chǎng)，粒子繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后進(jìn)入一個(gè)矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫(huà)出），又從虛線上的某一位置N處沿y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)并再次經(jīng)過(guò)M點(diǎn)．已知磁場(chǎng)方向垂直xoy平面（紙面）向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，不計(jì)粒子的重力．試求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）N點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）矩形磁場(chǎng)的最小面積．

Answer 1

分析 帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，射出電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，利用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)從電場(chǎng)中射出速度方向的垂線一，垂足為P，則P點(diǎn)為粒子射入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)，N為從磁場(chǎng)中射出的初射點(diǎn)．以O(shè)′為圓心，ON為半徑做圓如下圖；該圓即是粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡；做NP 的平行線與圓相切，再做MO′的兩條平行線與圓相切，則這三條切線和MN圍成的面積即是最小面積．

解答 解：如圖是粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程示意圖．
（1）粒子從O到M做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，則有
$2\sqrt{3}a={v}_{0}t$
$a=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}{t}^{2}$
得$E=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{6qa}$
電場(chǎng)強(qiáng)度大小為：$E=\frac{m{v}^{2}}{6qa}$
（2）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)速度為v，與x方向的夾角為α，則：${v}_{y}=\frac{qE}{m}t=\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}，即α=3{0}^{0}$，
由題意知，粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，粒子在
磁場(chǎng)中以O(shè)′點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為R，
則：$qBv=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：
$R=\frac{mv}{qB}=\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qB}$
由幾何關(guān)系知：$β=\frac{1}{2}∠PMN=3{0}^{0}$
所以N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為${y}_{N}=\frac{R}{tanβ}+a=\frac{2m{v}_{0}}{qB}+a$
橫坐標(biāo)為${x}_{N}=2\sqrt{3}a$
故N點(diǎn)的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$a，$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$+a）
（3）當(dāng)矩形磁場(chǎng)為圖示虛線矩形時(shí)的面積最小．則矩形的兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為
L₁=2R=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qB}$
${L}_{2}=R+Rsinβ=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}$
所以矩形磁場(chǎng)的最小面積為：S_min=L₁×L₂=$\frac{4{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$
矩形磁場(chǎng)最小面積為$\frac{4{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$
答：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小$\frac{m{v}^{2}}{6qa}$；
（2）N點(diǎn)的坐標(biāo)（2$\sqrt{3}$a，$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$+a）
（3）矩形磁場(chǎng)的最小面積$\frac{4{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解答本題應(yīng)注意分清物理過(guò)程，不同物理過(guò)程應(yīng)用相應(yīng)的物理知識(shí)；抓住關(guān)鍵字句，分析出關(guān)鍵條件．如該題中粒子從N點(diǎn)沿MN的方向射出，即可分析出速度方向，再利用相關(guān)知識(shí)來(lái)“定圓心，找半徑”；此外良好的作圖能力及幾何分析能力是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵