Question

1．光滑的長軌道形狀如圖所示，底部為半圓型，半徑為R，固定在豎直平面內，AB兩質量相同的小環(huán)用長為R的輕桿連接在一起，套在軌道上，將AB兩環(huán)從圖示位置靜止釋放，A環(huán)離開底部2R，不考慮輕桿和軌道的接觸，即忽略系統(tǒng)機械能的損失，求：
（1）A環(huán)剛進入圓軌道時所受輕桿的彈力
（2）A環(huán)到達最低點時，兩球速度大小
（3）若將桿長換為2$\sqrt{2}$R，A環(huán)仍從離開軌道底部2R處由靜止釋放，則B環(huán)可能達到的最低位置離開軌道底部的高度以及此時A環(huán)的速度大小分別為多少？

Answer 1

分析 （1）兩個環(huán)以及連桿整體自由下落，處于完全失重狀態(tài)，故桿上彈力為零；
（2）A環(huán)到達最低點時，兩環(huán)具有相同角速度，則兩環(huán)速度大小一定相等；根據幾何關系找到B環(huán)的位置，然后根據機械能守恒定律列式求解出各自的速度；
（3）根據數學知識判斷位置，由機械能守恒定律求出末速度．

解答 解：（1）對整體分析，自由落體，加速度g，以A為研究對象，A作自由落體則桿對A一定沒有作用力．即F=0
故A環(huán)剛進入圓軌道時所受輕桿的彈力為零．
（2）AB都進入圓軌道后，兩環(huán)具有相同角速度，則兩環(huán)速度大小一定相等，即V_A=V_B
對整體依機械能守恒定律，有：mg•2R+mg•$\frac{5}{2}R$=$\frac{1}{2}$•2mv²
解得故A環(huán)到達最低點時，兩環(huán)速度大小均為：v=$\sqrt{\frac{9}{2}gR}$
（3）由于桿超過了半圓直徑，所以兩環(huán)運動如下圖

當A環(huán)到達半圓軌道最低點時，B環(huán)到達最低位置，
設此時B距離半圓軌道最底部的高度為h，根據三角關系得：
${R}^{2}+{h}^{2}=（2\sqrt{2}R）^{2}$
解得：h=$\sqrt{7}R$
由于是連體桿運動，故AB速度大小相等，設為v₁
由機械能守恒得：mg2R+mg（2R+2$\sqrt{2}$R）=mg$\sqrt{7}R$+$\frac{1}{2}$•2m${{v}_{1}}^{2}$
解得：A環(huán)的速度大�。簐₁=$\sqrt{（4+2\sqrt{2}-\sqrt{7}）gR}$
答：（1）A環(huán)剛進入圓軌道時所受輕桿的彈力為0．
（2）A環(huán)到達最低點時，兩球速度大小為$\sqrt{\frac{9}{2}gR}$
（3）此時B距離半圓軌道最底部的高度為$\sqrt{7}R$，A環(huán)的速度大小為$\sqrt{（4+2\sqrt{2}-\sqrt{7}）gR}$．

點評 本題關鍵是根據幾何關系多次得到環(huán)的具體位置，然后根據機械能守恒定律列方程求解即可．