Question

15．由中國(guó)科學(xué)院、中國(guó)工程院兩院院士評(píng)出的2012年中國(guó)十大科技進(jìn)展新聞，于2013年1月 19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號(hào)”成功對(duì)接和“蛟龍”號(hào)下潛突破7000米分別排在第一、第二．若地球半徑為R，把地球看做質(zhì)量分布均勻的球體．“蛟龍”下潛深度為d，天宮一號(hào)軌道距離地面高度為h，“蛟龍”號(hào)所在處與“天官一號(hào)”所在處的加速度之比為（　　）

• A． $\frac{R-d}{R+h}$
• B． $\frac{（R-d）^{2}}{（R+h）^{2}}$
• C． $\frac{（R-d）（R+h）}{{R}^{2}}$
• D． $\frac{（R-d）（R+h）^{2}}{{R}^{3}}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，深度為d的地球內(nèi)部的重力加速度相當(dāng)于半徑為R-d的球體在其表面產(chǎn)生的重力加速度，根據(jù)地球質(zhì)量分布均勻得到加速度的表達(dá)式，再根據(jù)半徑關(guān)系求解深度為d處的重力加速度與地面重力加速度的比值．衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)用萬(wàn)有引力提供向心力可以解出高度為h處的加速度，再求其比值．

解答 解：令地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬(wàn)有引力大小相等，有：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
由于地球的質(zhì)量為：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，所以重力加速度的表達(dá)式可寫(xiě)成：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{Gρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{R}^{2}}=\frac{4}{3}πGρR$．
根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，固在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬(wàn)有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產(chǎn)生的萬(wàn)有引力，故井底的重力加速度g′=$\frac{4}{3}$πGρ（R-d）．
所以有$\frac{g′}{g}=\frac{R-d}{R}$．
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=ma$，“天宮一號(hào)”的加速度a=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$，
所以$\frac{a}{g}=\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$，
所以$\frac{g′}{a}=\frac{（R-d）（R+h）^{2}}{{R}^{3}}$，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 抓住在地球表面重力和萬(wàn)有引力相等，在地球內(nèi)部，地球的重力和萬(wàn)有引力相等，要注意在地球內(nèi)部距離地面d處所謂的地球的質(zhì)量不是整個(gè)地球的質(zhì)量而是半徑為（R-d）的球體的質(zhì)量．