Question

1．如圖是某學(xué)校的課外物理興趣活動小組的同學(xué)設(shè)計(jì)的過山車軌道裝置，由軌道O點(diǎn)至E點(diǎn)中，CD段粗糙，其余均光滑，與DE等高的小車靜止在粗糙的水平面上，其右端與DE接觸但不連接，一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊質(zhì)量為m=2kg，從O點(diǎn)由靜止開始沿斜面軌道滑下，無能量損失地滑入水平軌道并進(jìn)入第一個(gè)豎直的圓形軌道A，做一次圓周運(yùn)動后進(jìn)人水平軌道CD．然后又滑人第二個(gè)豎直的圓形軌道B，做一次圓周運(yùn)動后滑上水平軌道DE，然后水平滑上小車的右端，車的質(zhì)量M=2kg． 已知第一個(gè)圓形軌道A的半徑為R=2m，第二個(gè)圓形管道B的半徑為為r=1m，（管道B的內(nèi)徑相對圓形管道半徑可以忽略不計(jì)），且物塊經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)A時(shí)剛好對軌道沒有壓力，經(jīng)過定二個(gè)圓形管道的最高點(diǎn)B時(shí)對管道內(nèi)壁的壓力N_B=2N；物塊與車間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.4，車與水平面間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.05，空氣阻力不計(jì)，g取10m/s²，求：

（1）物塊經(jīng)過軌道CD的過程中克服摩擦阻力做的功；
（2）若物塊不滑離車，則車運(yùn)動的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律分別求出A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度，再由動能定理研究A到B的過程，求物塊經(jīng)過軌道CD的過程中克服摩擦阻力做的功；
（2）物塊滑上車后做勻減速運(yùn)動，車做勻加速運(yùn)動，求兩者速度相同所用時(shí)間，得到通過車通過的位移．之后，兩者一起勻減速運(yùn)動，由動能定理求車?yán)^續(xù)運(yùn)動的距離．從而得到總距離．

解答 解：（1）在A點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，
得：v_A=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×2}$=2$\sqrt{5}$m/s
在B點(diǎn)，支持力與重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律有：mg-N_B=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$，
代入數(shù)據(jù)得：v_B=3m/s
設(shè)物塊經(jīng)過軌道CD的過程中克服摩擦阻力做的功為W_f．從A到B，由動能定理得：
2mg（R-r）-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：W_f=51J
（2）物塊從B到E，由機(jī)械能守恒得：
2mgr+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_E=7m/s
物塊滑上車后做勻減速運(yùn)動，加速度大小為：a₁=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=4m/s²；
車做勻加速運(yùn)動，加速度為：a₂=$\frac{{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（M+m）g}{M}$=3m/s²；
設(shè)經(jīng)過時(shí)間t兩者達(dá)到相同，則有：v_E-a₁t=a₂t，
代入數(shù)據(jù)得：t=1s
共同速度為：v=a₂t=3m/s
此過程，車的位移為：x₁=$\frac{vt}{2}$=1.5m
之后，兩者一起勻減速運(yùn)動，由動能定理得：
-μ₂（M+m）gx₂=0-$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
解得：x₂=9m
故車運(yùn)動的距離為：x=x₁+x₂=10.5m
答：（1）物塊經(jīng)過軌道CD的過程中克服摩擦阻力做的功是51J；
（2）若物塊不滑離車，則車運(yùn)動的距離是10.5m．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理清運(yùn)動的過程，正確分析圓周運(yùn)動向心力的來源，綜合運(yùn)用牛頓定律和動能定理進(jìn)行解答．