Question

3．如圖所示，空氣中放有一個半徑為R，折射率n＞$\sqrt{2}$的玻璃球，兩細束相距d＜2R的平行光線相對一直徑對稱地射到球上，且兩細束光線與球心共面，為使兩細束光線在球內(nèi)有實交點，求d與n之間必須滿足的條件．

Answer 1

分析 若光線在球內(nèi)恰好有實交點時，交于O點，此時θ₁=2θ₂．為使兩細束光線在球內(nèi)有實交點，則有θ₁＞2θ₂．由折射定律和幾何知識結(jié)合求解．

解答 解：如圖，若光線在球內(nèi)恰好有實交點時，交于O點，此時θ₁=2θ₂．
為使兩細束光線在球內(nèi)有實交點，則有θ₁＞2θ₂…①
根據(jù)折射定律有 n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$…②
則 n＞$\frac{sin{2θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$=2cosθ₂=2$\sqrt{1-si{n}^{2}{θ}_{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{si{n}^{2}{θ}_{1}}{{n}^{2}}}$…③
由幾何知識有 sinθ₁=$\frac{\frac{1}{2}d}{R}$…④
由③④得：n⁴＞4（n²-$\frac{nlkkjyx^{2}}{4{R}^{2}}$）
答：d與n之間必須滿足的條件是n⁴＞4（n²-$\frac{rsj3arz^{2}}{4{R}^{2}}$）．

點評 解決這類光學問題的關(guān)鍵是正確畫出光路圖，然后根據(jù)幾何關(guān)系以及折射定律求解．