Question

18．魏偉和洪宏在暑假參加了“快樂大沖關(guān)”水上競(jìng)技活動(dòng)，參賽者需要借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺(tái)上，如圖所示，若將參賽者簡(jiǎn)化為質(zhì)量m=60kg的質(zhì)點(diǎn)，參賽者抓住繩時(shí)繩與豎直方向的夾角α=53°，并由靜止開始擺動(dòng)，繩的懸掛點(diǎn)O距水面的高度H=3m．不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺(tái)露出水面的高度不計(jì)，水足夠深，重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）求參賽者擺到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩拉力的大小F；
（2）若繩長(zhǎng)l=2m，參賽者擺到最高點(diǎn)時(shí)不幸松手落入水中，設(shè)水對(duì)選手的浮力f₁=800N，對(duì)選手的阻力f₂=700N，求選手落入水中的深度d；
（3）若使參賽者擺到最低點(diǎn)時(shí)松手水平拋出后，在浮臺(tái)上的落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)，繩長(zhǎng)應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 （1）在擺動(dòng)過程中，機(jī)械能是守恒的，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求出運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度．再用牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的向心力求出繩子對(duì)選手的拉力，最后用牛頓第三定律求出選手對(duì)繩子的拉力．
（2）選手?jǐn)[到右邊最高點(diǎn)時(shí)松手，做自由落體運(yùn)動(dòng)，對(duì)整個(gè)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解d．
（3）選手在最低點(diǎn)松手后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)可以求出水平距離．

解答 解：（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：
mgl（1-cosα）=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=$\sqrt{2gl（1-cosα）}$=$\sqrt{2×10×2×（1-cos53°）}$=4m/s；
在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，
代入數(shù)據(jù)解得：F=1080N
由牛頓第三定律可知，人對(duì)繩子的拉力：F′=F=1080N；
（2）選手從右邊最高點(diǎn)開始作自由落體運(yùn)動(dòng)，然后再進(jìn)入水中，由動(dòng)能定理：mg（H-lcosα+d）-（f₁+f₂）d=0-0
解得：d=1.2m
（3）選手從最低點(diǎn)松手后開始做平拋運(yùn)動(dòng)
在水平方向：x=vt，
豎直方向：H-l=$\frac{1}{2}$gt²，
由第1題有：v=$\sqrt{2gl（1-cosα）}$
聯(lián)立得：x=2$\sqrt{l（H-l）（1-cos53°）}$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知當(dāng)l=H-l時(shí)，x有最大值，則此時(shí)l=$\frac{1}{2}H$=1.5m
答：（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩拉力的大小是1080N．
（2）選手?jǐn)[到右邊最高點(diǎn)時(shí)松手，選手將做自由落體運(yùn)動(dòng)，選手落入水中的深度d是1.2m；
（3）若要求選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手，且運(yùn)動(dòng)到浮臺(tái)處離岸水平距離最大，則選手應(yīng)將手握住繩子上離O點(diǎn)1.5m處．

點(diǎn)評(píng) 本題考查到了機(jī)械能守恒，圓周運(yùn)動(dòng)向心力，平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律；解答第一問時(shí)，一定注意要求的是選手對(duì)繩子的拉力．解題過程中是對(duì)選手進(jìn)行受力分析的，故不要忘記應(yīng)用牛頓第三定律．對(duì)于極值問題，要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解．