Question

行星繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)行,它的近日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離為r,遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離為R.若行星經(jīng)過(guò)近日點(diǎn)的速度為v,求該行星經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度v′.

Answer 1

解析：不妨作出行星繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)行的示意圖，結(jié)合開(kāi)普勒第二定律與數(shù)學(xué)幾何知識(shí)求解.

    如圖5-1-3所示,分別以近日點(diǎn)A和遠(yuǎn)日點(diǎn)B為中心(太陽(yáng)在C點(diǎn))取一個(gè)極短時(shí)間Δt,行星與太陽(yáng)連線掃過(guò)的面積如圖中畫(huà)有斜線的兩個(gè)扇形的面積.由于Δt極短,因此可把這段時(shí)間內(nèi)的行星運(yùn)動(dòng)看作勻速率運(yùn)動(dòng),弧長(zhǎng) 和B₁B₂可以用相應(yīng)的弦長(zhǎng)A₁A₂和代替,則

圖5-1-3

A₁A₂≈=vΔt,

B₁B₂≈=v′Δt

兩個(gè)扇形的面積分別為：

S_A1A2C=AC·A₁A₂=rvΔt

S_B1B2C=BC·B₁B₂=Rv′Δt

根據(jù)開(kāi)普勒第二定律有：S_A1A2C=S_B1B2C，

即rvΔt=Rv′Δt

則行星經(jīng)遠(yuǎn)日點(diǎn)B時(shí)的速度大小為v′=v.