數(shù)學(xué)開放性問題怎么解

                        陜西永壽縣中學(xué)    特級教師安振平

      

數(shù)學(xué)開放性問題是近年來高考命題的一個新方向,其解法靈活且具有一定的探索性,這類題型按解題目標(biāo)的操作模式分為:規(guī)律探索型,問題探究型,數(shù)學(xué)建模型,操作設(shè)計型,情景研究型.如果未知的是解題假設(shè),那么就稱為條件開放題;如果未知的是解題目標(biāo),那么就稱為結(jié)論開放題;如果未知的是解題推理,那么就稱為策略開放題.當(dāng)然,作為數(shù)學(xué)高考題中的開放題其“開放度”是較弱的,如何解答這類問題,還是通過若干范例加以講解.

 

例 1 設(shè)等比數(shù)列的公比為  ,前 項和為 ,是否存在常數(shù) ,使數(shù)列 也成等比數(shù)列?若存在,求出常數(shù);若不存在,請  明 理 由.

   講解 存在型開放題的求解一般是從假設(shè)存在入手, 逐步深化解題進(jìn)程的.

   設(shè)存在常數(shù), 使數(shù)列 成等比數(shù)列.

          

    

     (i) 當(dāng)  時, 代入上式得

          即=0

但, 于是不存在常數(shù) ,使成等比數(shù)列.

     (ii) 當(dāng) 時,, 代 入 上 式 得

    .

       綜 上 可 知 ,  存 在 常 數(shù) ,使成等比數(shù)列.

   等比數(shù)列n項求和公式中公比的分類, 極易忘記公比的 情 形, 可 不 要 忽 視 啊 !

例2  某機(jī)床廠今年年初用98萬元購進(jìn)一臺數(shù)控機(jī)床,并立即投入生產(chǎn)使用,計劃第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元,從第二年開始,每年所需維修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元,該機(jī)床使用后,每年的總收入為50萬元,設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬元.

(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)從第幾年開始,該機(jī)床開始盈利(盈利額為正值);

 (3 ) 使用若干年后,對機(jī)床的處理方案有兩種:

 (i )當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時,以30萬元價格處理該機(jī)床;

     (ii )當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時,以12萬元價格處理該機(jī)床,問用哪種方案處理較為合算?請說明你的理由.

講解 本例兼顧應(yīng)用性和開放性, 是實際工作中經(jīng)常遇到的問題.

   (1)

            =.                                    

   (2)解不等式  >0,

得       <x<.

∵ x∈N,  ∴ 3 ≤x≤ 17.

故從第3年工廠開始盈利.

(3)(i) ∵ ≤40

當(dāng)且僅當(dāng)時,即x=7時,等號成立.

∴ 到2008年,年平均盈利額達(dá)到最大值,工廠共獲利12×7+30=114萬元.

(ii)  y=-2x2+40x-98= -2(x-10)2 +102,

當(dāng)x=10時,ymax=102.

故到2011年,盈利額達(dá)到最大值,工廠共獲利102+12=114萬元.

解答函數(shù)型最優(yōu)化實際應(yīng)用題,二、三元均值不等式是常用的工具.

(2)  ∵ , ∴=4.

∴{}是公差為4的等差數(shù)列.

試題詳情

∵a1=1,  ∴=+4(n-1)=4n-3.

∵an>0 , ∴an=.                                        

(3)   bn=Sn+1-Sn=an+12=, 由bn<,得 m>對于n∈N成立.

∵≤5 ,

∴m>5,存在最小正數(shù)m=6,使得對任意n∈N有bn<成立.

為了求an ,我們先求,這是因為{}是等差數(shù)列, 試問: 你能夠想到嗎? 該題是構(gòu)造等差數(shù)列的一個典范.

例4  已知數(shù)列在直線x-y+1=0上.

(1)       求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)若函數(shù)

求函數(shù)f(n)的最小值;

   (3)設(shè)表示數(shù)列{bn}的前n項和.試問:是否存在關(guān)于n 的整式g(n), 使得對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在,寫出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,說明理由.  

    講解  從 規(guī) 律 中 發(fā) 現(xiàn) ,從 發(fā) 現(xiàn) 中 探 索.

   (1)

      

    (2) ,

         ,

     .

    

    (3),

      

      .

      

      

     

     故存在關(guān)于n的整式使等式對于一切不小2的自然數(shù)n恒成立.

     事實上, 數(shù)列{an}是等差數(shù)列, 你知道嗎?

    例5  深夜,一輛出租車被牽涉進(jìn)一起交通事故,該市有兩家出租車公司――紅色出租車公司和藍(lán)色出租車公司,其中藍(lán)色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個城市出租車的85%和15%。據(jù)現(xiàn)場目擊證人說,事故現(xiàn)場的出租車是紅色,并對證人的辨別能力作了測試,測得他辨認(rèn)的正確率為80%,于是警察就認(rèn)定紅色出租車具有較大的肇事嫌疑. 請問警察的認(rèn)定對紅色出租車公平嗎?試說明理由.

    講解  設(shè)該城市有出租車1000輛,那么依題意可得如下信息:

 

 

證人所說的顏色(正確率80%)

 

藍(lán)色

紅色

合計

藍(lán)色(85%)

680

170

850

紅色(15%)

30

120

150

合計

710

290

1000

從表中可以看出,當(dāng)證人說出租車是紅色時,且它確實是紅色的概率為,而它是藍(lán)色的概率為. 在這種情況下,以證人的證詞作為推斷的依據(jù)對紅色出租車顯然是不公平的.

本題的情景清新, 涉及到新教材中概率的知識, 上述解法中的列表技術(shù)顯示了一定的獨特性, 在數(shù)學(xué)的應(yīng)試復(fù)課中似乎是很少見的.

    例6  向明中學(xué)的甲、乙兩同學(xué)利用暑假到某縣進(jìn)行社會實踐,對該縣的養(yǎng)雞場連續(xù)六年來的規(guī)模進(jìn)行調(diào)查研究,得到如下兩個不同的信息圖:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   (A)圖表明:從第1年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)2萬只雞;

   (B)圖表明:由第1年養(yǎng)雞場個數(shù)30個減少到第6年的10個.

   請你根據(jù)提供的信息解答下列問題:

   (1)第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)各是多少?

   (2)哪一年的規(guī)模最大?為什么?

   講解 (1)設(shè)第n年的養(yǎng)雞場的個數(shù)為,平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)雞萬只,

     由圖(B)可知, =30,且點在一直線上,

從而 

     由圖(A)可知, 且點在一直線上,

于是  

     =(萬只),(萬只)

試題詳情

     第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)是26個,全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是31.2萬只;

     (2)由(萬只),

試題詳情

     第二年的養(yǎng)雞規(guī)模最大,共養(yǎng)雞31.2萬只.

     有時候我們需要畫出圖形, 有時候我們卻需要從圖形中采集必要的信息, 這正反映了一個事物的兩個方面. 看來, 讀圖與識圖的能力是需要不斷提升的.

例7 已知動圓過定點P(1,0),且與定直線相切,點C在l上.

   (1)求動圓圓心的軌跡M的方程;

   (2)設(shè)過點P,且斜率為-的直線與曲線M相交于A,B兩點.

   (i)問:△ABC能否為正三角形?若能,求點C的坐標(biāo);若不能,說明理由;

   (ii)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時,求這種點C的縱坐標(biāo)的取值范圍.

講解  本例主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關(guān)系,是解析幾何中的存在性問題.

(1)由曲線M是以點P為焦點,直線l為準(zhǔn)線的拋物線,知曲線M的方程為.

(2)(i)由題意得,直線AB的方程為 消y得

于是,  A點和B點的坐標(biāo)分別為A,B(3,),

假設(shè)存在點C(-1,y),使△ABC為正三角形,則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,

即有

   

由①-②得

 

因為不符合①,所以由①,②組成的方程組無解.

故知直線l上不存在點C,使得△ABC是正三角形.

(ii)設(shè)C(-1,y)使△ABC成鈍角三角形,

即當(dāng)點C的坐標(biāo)是(-1,)時,三點A,B,C共線,故.

  ,

  ,   

  .

  (i) 當(dāng),即,

 即為鈍角.

(ii) 當(dāng),即,

 即為鈍角.

(iii)當(dāng),即,

 即.   該不等式無解,所以∠ACB不可能為鈍角.

故當(dāng)△ABC為鈍角三角形時,點C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是.

需要提及的是, 當(dāng)△ABC為鈍角三角形時, 鈍角的位置可能有三個,需要我們進(jìn)行一一探討.

例8 已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對于任意的a,b∈R都滿足關(guān)系式  .

   (1)求f(0),f(1)的值;

   (2)判斷的奇偶性,并證明你的結(jié)論;

   (3)若,求數(shù)列{un}的前n項的和Sn.

講解 本題主要考查函數(shù)和數(shù)列的基本知識,考查從一般到特殊的取特值求解技巧.

   (1)在中,令得

           .

     在中,令得

        ,有 .

   (2)是奇函數(shù),這需要我們進(jìn)一步探索. 事實上 

        

       

        

        故為奇函數(shù).

(2)       從規(guī)律中進(jìn)行探究,進(jìn)而提出猜想.

 由   

       ,

         ………………………………

猜測  .

于是我們很易想到用數(shù)學(xué)歸納法證明.

     1° 當(dāng)n=1時,,公式成立;

     2°假設(shè)當(dāng)n=k時,成立,那么當(dāng)n=k+1時,

,公式仍然成立.

     綜上可知,對任意成立.

  從而   .

    

     ,.

     故

      

例9  若、,

(1)求證:;

    (2)令,寫出、、、的值,觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式;

    (3)證明:存在不等于零的常數(shù)p,使是等比數(shù)列,并求出公比q的值.

講解  (1)采用反證法. 若,即, 解得

從而與題設(shè),相矛盾,

   故成立.

 (2) 、、、、,

     .

(3)因為 又,

所以,

因為上式是關(guān)于變量的恒等式,故可解得、.

    我們證明相等的問題太多了,似乎很少見到證明不相等的問題,是這樣嗎?

例10 如圖,已知圓A、圓B的方程分別是動圓P與圓A、圓B均外切,直線l的方程為:.

(1)求圓P的軌跡方程,并證明:當(dāng)時,點P到點B的距離與到定直線l距離的比為定值;

(2) 延長PB與點P的軌跡交于另一點Q,求的最小值;

(3)如果存在某一位置,使得PQ的中點R在l上的射影C,滿足求a的取值范圍.

   講解(1)設(shè)動圓P的半徑為r,則|PA|=r+,|PB| = r + ,

試題詳情

∴ |PA| -|PB| = 2.

試題詳情

∴ 點P的軌跡是以A、B為焦點,焦距為4,實軸長為2的雙曲線的右準(zhǔn)線的右支,其方程為  (x ≥1).若 , 則l的方程為雙曲線的右準(zhǔn)線, ∴點P到點B的距離與到l的距離之比為雙曲線的離心率e = 2.

(2)若直線PQ的斜率存在,設(shè)斜率為k,則直線PQ的方程為y = k ( x-2 )代入雙曲線方程, 得

由  , 解得>3. 

∴  |PQ|=. 

當(dāng)直線的斜率存在時,,得,|PQ|=6.

∴ |PQ|的最小值為6. 

(3)當(dāng)PQ⊥QC時,P、C、Q構(gòu)成Rt△.

∴  R到直線l的距離|RC|=  ① 

又 ∵  點P、Q都在雙曲線上,

∴ 。

∴  ,即  .

∴  、凇

試題詳情

將②代入①得 ,|PQ|=2-4a≥6.

故有a≤-1.

“如果存在”并不意味著一定存在, 如何修改本題使其成為不存在的范例呢? 問題的提出既能延伸我們的思緒, 更能完善我們的知識技能, 無形中使解題能力得到逐漸的提升.

 

試題詳情


同步練習(xí)冊答案