2008年廈門市高中畢業(yè)班適應性考試

數(shù)學（文科）試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．

滿分為150分，考試時間120分鐘．

注意事項：

1．  考生將自己的姓名、準考證號及所有答案均填寫在答題卡上；

2．  答題要求，見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”.

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互獨立，那么P（A?B）=P（A）?P（B）

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1－P)n-k

球的表面積公式：S=4πR2，球的體積公式：V=πR3，其中R表示球的半徑.

第I卷（選擇題  共60分）

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，在答題卡上的相應題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．

1．“”是“”成立的                   

A.充分不必要條件      B.必要不充分條件

 　C.充分必要條件        D.既非充分也非必要條件

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2．已知函數(shù)，則的反函數(shù)是                                

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       A．                       B．

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       C．                        D．

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3．老師為研究男女同學數(shù)學學習的差異情況，對某班50名同學（其中男同學30名，女同學20名）采取分層抽樣的方法，抽取一個樣本容量為10的樣本進行研究，某女同學甲被抽到的概率為

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A．          B．           C．              D．

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4．在的展開式中，常數(shù)項是

A．20     B．30      C．15      D．25

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5．已知函數(shù)，且m，n分別是的兩根，則的圖象為下列圖象中的（      ）

 

 

 

 

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6．給出下列四個命題：

     ①如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直；

     ②過空間一定點有且只有一條直線與已知平面垂直；

     ③如果平面外一條直線a與平面α內(nèi)一條直線b平行，那么a∥α；

④一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角相等；

       其中真命題的為                                                                      （    ）

       A．①③                   B．②④                   C．②③                   D．③④

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7．在△ABC中，若，則△ABC是               （    ）

       A．銳角三角形        B．直角三角形      C．鈍角三角形      D．等邊三角形

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8．以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，將△ABC折起，使折起后的△ABC恰成等邊三角形，M為高BD的中點，則直線AB與CM所成角的余弦值為

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A．         B．

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C．        D．

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9．如圖，角的頂點原點O，始邊在y軸的正半軸、

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終邊經(jīng)過點P（-3，-4）。角的頂點在原點O，始邊在

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x軸的正半軸，終邊OQ落在第二象限，且，

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則的值為

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A．        B．   C．   D．

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10．已知雙曲線的左頂點、右焦點分別為A、F，點B，若，則該雙曲線離心率e的值為

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11．用紅、黃兩種顏色給如圖所示的一列7個方格染色（可以只染一種顏色），要求相鄰的兩格不都染上紅色，則不同的染色方法數(shù)有

 

 

 

 

 

 

 

A．7    　B．15     　C．16      　D．28

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12．2008春，我國南方地區(qū)遭受了罕見的特大雪災。大雪無情人有情，廈門某中學學生會在街頭進行募捐活動，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通過積極宣傳，從第二天起，每天的捐款人數(shù)是前一天的2倍，且人均捐款數(shù)比前一天多5元。則截止第5天捐款總數(shù)將達到（      ）

A．3200元     B．4000元     C．9600元    D．19200元

第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．在答題卡上的相應題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．

13．已知圓x2 + y2 + 6y－7 = 0，直線：x－y－4 = 0與圓的公共點個數(shù)為          ．

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14．已知x、y滿足約束條件的最小值為－3，則常數(shù)k=          .

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15．設全集U是實數(shù)集R，M=，N=，則圖中陰影部分所表示的集合是                     ．

 

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16．若平面點集A中的任一個點，總存在正實數(shù)，使得集合，則稱A為一個開集。給出下列集合：

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（1）；(２)  ；

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　(３) ；(４)  ．

其中是開集的是             ．（請寫出所有符合條件的序號）

 

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三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，在答題卡上相應題目的答題區(qū)域內(nèi)作答.

17．（本小題滿分12分）

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已知函數(shù)=，

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（1） 若，且sin2=，求f()的值；

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（2）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

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18．（本小題滿分12分）

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數(shù)列的前項和為,,數(shù)列滿足,．

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（1）求;

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（2）求數(shù)列的通項公式．.

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19．（本小題滿分12分）

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如圖，已知四棱錐S-ABCD中，SA平面ABCD,在直角梯形ABCD，

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AD∥BC,，SA=AD=AB=2，M為BC的中點。

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（1）       求證：SM AD；

（2）       求點D到平面SBC的距離．

（3）       求二面角A-SB-C的大��；

 

 

 

 

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20．（本小題滿分12分）

在進行一項擲骰子放球活動中，規(guī)定：若擲出1點，甲盒中放一球；若擲出2點或3點，乙盒中放一球；若擲出4點,5點或6點，丙盒中放一球，前后共擲3次.

（1）求甲盒中有3個球的概率；

（2）求甲、乙、丙3個盒中的球數(shù)依次成等差數(shù)列的概率．

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21．（本小題滿分12分）

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定義在定義域D內(nèi)的函數(shù)y=f(x),若對任意，都有，則稱函數(shù)為“Storm”函數(shù)。已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間[－2，2]上單調(diào)遞減，且．

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   （1）求的解析式；

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   （2）設，若對x­ ，函數(shù)為“Storm”函數(shù)，求實數(shù)m的最小值．

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22．已知橢圓C: ,為其左右焦點,，為右頂點,為左準線,過的直線,與橢圓相交于P、Q兩點。

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(1)當，且時，求橢圓C的方程;

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(2)當 2時，直線交于點，直線交于點，求的最小值.

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.

 

 

 

 

2008年廈門市高中畢業(yè)班適應性考試

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說明：

       一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解答與本解答不同，可根據(jù)試題的主要內(nèi)容比照評分標準制定相應的評分細則.

       二、對計算題，當考生的解答 某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.

       三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù).

       四、只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：本題主要考查基礎知識和基本運算．

1、A             2、A             3、C              4、C              5、A             6、C

7、B              8、C              9、A             10、D            11、B            12、B

二、填空題：本大題共4個小題；每小題4分，共16分.本題主要考查基礎知識和基本運算．

13、2                   14、0                   15、2                       16、② ④

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，在答題卡上相應題目的答題區(qū)域內(nèi)作答.

17．本小題主要考查三角函數(shù)的符號，誘導公式，兩角和差公式，二倍角公式，三角函數(shù)的圖象及單調(diào)性等基本知識以及推理和運算能力．滿分12分

解：（1）∵且sin2=∴2sincos= ,sin≥0得cos＞0

從而sin+cos＞0  ………………………………………………………… 3分

 ∴ =sin+cos===  …………6分

（2）∵∴=-sinx+cosx=sin(x+)  ………………………… 8分

∴時，的單調(diào)遞增區(qū)間為[，]，………………………………10分

單調(diào)遞減區(qū)間為[，2]．………………………………………… 12分

18．本小題主要考查等差、比數(shù)列的概念，應用通項公式及求和公式進行計算的能力．

滿分12分

解：（1）   ∴，

        所以， 數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，………4分

∴

        （2）由（1）得

            

解法二：（1）同解法一

       （2） 由（1）得

         ∴……………8分，

         ∴，

         ∴， ……………10分

=

=，……………………………11分

            又. ………………………12分

19．本小題主要考查直線和平面的位置關系，二面角的大小，點到平面的距離�？疾榭臻g想象能力、邏輯推理能力和運算能力．滿分12分

解法一：（1）在直角梯形ABCD中，過點A做AN垂直BC，

垂足為N，易得BN=1，同時四邊形ANCD是矩形，

則CN=1，點N為BC的中點，所以點N與點M重合,．

…………………………………………………………2分

連結AM,

因為平面ABCD，所以,又AD∥BC，

所以SM AD�！�4分

（2）過點A做AG垂直SM，G為垂足，

易證平面SAM,

則，在RT中， �！�7分

又AD∥平面SBC,所以點D到平面SBC的距離為點A到平面SBC的距離AG,

點D到平面SBC的距離為………8分

（3）取AB中點E，因為是等邊三角形，所以,又,得，過點E作EF垂直SB， F為垂足，連結CF，則，所以是二面角A-SB-C的平面角．………10分

在RT中，.在RT中，，所以二面角A-SB-C的大小為．………12分

解法二：（1）同解法一．

（2）根據(jù)（1），如圖所示，分別以AM,AD,AC所在射線為x,y,z軸建立空間直角坐標系．

有A(0,0,0)，M（，0，0），B（，-1，0），C（,1 ,0），D（0,1 ,0）,S（0,0 ,1）

所以，,．

設平面SBC的法向量，則,

即 ，

解得，取．………6分

又=，則點D到平面SBC的距離

．………8分

（3）設平面ASB的法向量，則,

即，

解得，取．………10分

∴，則二面角A-SB-C的大小為．………12分

20．本小題主要考查排列組合與概率的基礎知識，考查推理、運算能力與分類討論思想，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力. 滿分12分

解：（1）因為擲出1點的概率為，

所以甲盒中有3個球的概率………………………4分

     （2）甲、乙、丙3個盒中的球數(shù)依次成等差數(shù)列有以下三種情況：

①甲、乙、丙3個盒中的球數(shù)分別為0、1、2，

此時的概率  ……………………………6分

②甲、乙、丙3個盒中的球數(shù)分別為1、1、1，

此時的概率  ……………………………8分

③甲、乙、丙3個盒中的球數(shù)分別為2、1、0，

此時的概率 ……………………………10分

所以，甲、乙、丙3個盒中的球數(shù)依次成等差數(shù)列的概率…12分

21．本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值等基本知識；考查函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類與整合等數(shù)學思想方法；考查運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力以及運算能力，滿分12分．

解（Ⅰ）

上單調(diào)遞增，在[－2，2]上單調(diào)遞減，

，……2分

，

…………………………4分

又 

……………………………………………………6分

   （Ⅱ）已知條件等價于在……………………8分

上為減函數(shù)，

且……………………………………10分

上為減函數(shù)，

 

又………………………………………………12分

22．本小題主要考查直線、橢圓、向量等基礎知識，以及應用這些知識研究曲線幾何特征

基本方法，考查運算能力和綜合解題能力．滿分14分．

解:（１）當時  ，，

消去得:  ， ………2分

此時ㄓ>0，

設點坐標為 , 點坐標為 ，

則有=  ，  3

=   ，  4

，∴ ，代入3、4得

消去得

解得，

 則所求橢圓C的方程．……………………6分

 (２) 當2時，橢圓C的方程，………………７分

設點坐標為 , 點坐標為，

直線的方程為:，

與的方程: 聯(lián)立得: M點的縱坐標，

同理可得: ，………………９分

則=   

      …10分

     ，

此時ㄓ>0，由 =   ，=   ，

=   ，=   ，……………… 12分

則，

 ……………………13分

（當時取等號），

∴的最小值為6. ……………………14分

 


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