1．函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問題。

2．方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。方程的數(shù)學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問題。方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.

3．(1) 函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y＝0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)＝0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函數(shù)問題（例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)＝0，就是求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)。

(2) 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y>0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式。

(3) 數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題十分重要。

(4) 函數(shù)f(x)＝（n∈N^*）與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的，利用這個(gè)函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問題。

(5) 解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。

(6) 立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用布列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決。

Ⅰ．運(yùn)用函數(shù)與方程、表達(dá)式相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)解決函數(shù)、方程、表達(dá)式問題。

例1  已知，（a、b、c∈R），則有（   ）

(A)     (B)   (C)  (D)

解析 法一：依題設(shè)有 a?5－b?＋c＝0

∴是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)實(shí)根；

∴△＝≥0  ∴  故選(B)

法二：去分母，移項(xiàng)，兩邊平方得：

≥10ac＋2?5a?c＝20ac

∴  故選(B)

點(diǎn)評解法一通過簡單轉(zhuǎn)化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點(diǎn)，運(yùn)用方程的思想使問題得到解決；解法二轉(zhuǎn)化為b²是a、c的函數(shù)，運(yùn)用重要不等式，思路清晰，水到渠成。

練習(xí)1 已知關(guān)于的方程 －（2 m－8）x +－16 = 0的兩個(gè)實(shí)根 、 滿足 ＜＜，則實(shí)數(shù)m的取值范圍_______________。

答案：；

2 已知函數(shù) 的圖象如下，則（     ）

（A）    (B)

(C)         (D)

答案：A.

3 求使不等式≤?對大于1的任意x、y恒成立的a的取值范圍。

Ⅱ：構(gòu)造函數(shù)或方程解決有關(guān)問題：

例2  已知，t∈[，8]，對于f(t)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式恒成立，求x的取值范圍。

解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]

原題轉(zhuǎn)化為：>0恒成立，為m的一次函數(shù)（這里思維的轉(zhuǎn)化很重要）

當(dāng)x＝2時(shí)，不等式不成立。

∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3]

問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈[，3]上恒對于0，則：；

解得：x>2或x<－1

評析  首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個(gè)變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個(gè)字母變量的問題中，選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。

例3  為了更好的了解鯨的生活習(xí)性，某動(dòng)物保護(hù)組織在受傷的鯨身上裝了電子監(jiān)測裝置，從海洋放歸點(diǎn)A處，如圖（1）所示，把它放回大海，并沿海岸線由西向東不停地對它進(jìn)行了長達(dá)40分鐘的跟蹤觀測，每隔10分鐘踩點(diǎn)測得數(shù)據(jù)如下表（設(shè)鯨沿海面游動(dòng)），然后又在觀測站B處對鯨進(jìn)行生活習(xí)性的詳細(xì)觀測，已知AB＝15km，觀測站B的觀測半徑為5km。

觀測時(shí)刻

t（分鐘）

跟蹤觀測點(diǎn)到放歸

點(diǎn)的距離a（km）

鯨位于跟蹤觀測點(diǎn)正北

方向的距離b（km）

10

1

0.999

20

2

1.413

30

3

1.732

40

4

2.001

(1)據(jù)表中信息：①計(jì)算出鯨沿海岸線方向運(yùn)動(dòng)的速度；②試寫出a、b近似地滿足的關(guān)系式并

畫出鯨的運(yùn)動(dòng)路線草圖；

（2）若鯨繼續(xù)以（1）－②運(yùn)動(dòng)的路線運(yùn)動(dòng)，試預(yù)測，該鯨經(jīng)過多長時(shí)間（從放歸時(shí)開設(shè)計(jì)時(shí)）可進(jìn)入前方觀測站B的觀測范圍？并求出可持續(xù)觀測的時(shí)間及最佳觀測時(shí)刻。（注：≈6.40；精確到1分鐘）

解析（1）由表中的信息可知：

①鯨沿海岸線方向運(yùn)動(dòng)的速度為：（km/分鐘）

②a、b近似地滿足的關(guān)系式為：運(yùn)動(dòng)路線如圖

（2）以A為原點(diǎn)，海岸線AB為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)鯨所在

位置點(diǎn)P（x，y），由①、②得：，又B（15，0），

依題意：觀測站B的觀測范圍是：

≤5  （y≥0）     又

∴≤25   解得：11.30≤x≤17.70

由①得：∴該鯨經(jīng)過t＝＝113分鐘可進(jìn)入前方觀測站B的觀測范圍

         持續(xù)時(shí)間：＝64分鐘

∴該鯨與B站的距離d＝＝

當(dāng)d最小時(shí)為最佳觀測時(shí)刻，這時(shí)x＝＝14.5，t＝145分鐘。

練習(xí)4．已知關(guān)于的方程－2= 0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

（答案：0≤≤4－）

Ⅲ：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決數(shù)列問題

例4設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知，>0，<0，

（1）求公差d的取值范圍；

（2）指出、、…，中哪一個(gè)最大，并說明理由。

解析（1）由得：，

∵＝>0   ＝<0

∴<d<－3

（2）

∵d<0，是關(guān)于n 的二次函數(shù)，對稱軸方程為：x＝

∵<d<－3   ∴6<<      ∴當(dāng)n＝6時(shí)，最大。

1．展開式中的系數(shù)為____________.

2．已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列,則(     )

A  1            B                C            D 

3.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線為，則該雙曲線的離心率（   ）

A  5              B               C           D 

4．已知銳角三角形ABC中，。

   Ⅰ.求證；

   Ⅱ.設(shè)，求AB邊上的高。

5．甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為。

Ⅰ.分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；

Ⅱ.從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn),求至少有一個(gè)是一等品的概率。

6．設(shè)，，曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)Ｐ到曲線對稱軸距離的取值范圍是（　�。�

7.設(shè)雙曲線C：與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B。

Ⅰ.求雙曲線C的離心率的取值范圍；

Ⅱ.設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為P，且，求的值。