準(zhǔn)考證號(hào) 姓名
（在此卷上答題無效）
絕密★啟用前
2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江西卷）
理科數(shù)學(xué)
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷l至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè)，共150分．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上．考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．第Ⅱ卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答．若在試題卷上作答，答案無效．
3．考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回．
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2
如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 其中R表示球的半徑
P(A?B)＝P(A)?P(B) 球的體積公式
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么 V＝πR3
n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑
Pn(k)＝CP (1一P)
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．定義集合運(yùn)算：．設(shè)，則集合的所有元素之和為
A．0 B．2 C．3 D．6
3．若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是
A．[，3] B．[2，] C．[，] D．[3，]
4．＝
A． B．0 C．－ D．不存在
5．在數(shù)列中，，則＝
A． B． C． D．
6．函數(shù)在區(qū)間(，)內(nèi)的圖象大致是
A B C D
7．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．滿足?＝0的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是
A．(0，1) B．(0，] C．(0，) D．[，1)
8．(1＋)6(1＋)10展開式中的常數(shù)項(xiàng)為
A．1 B．46 C．4245 D．4246
9．若，且，則下列代數(shù)式中值最大的是
A． B． C． D．
10．連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長(zhǎng)度分別等于2、4，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下列四個(gè)命題：
①弦AB、CD可能相交于點(diǎn)M ②弦AB、CD可能相交于點(diǎn)N
③MN的最大值為5 ④MN的最小值為l
其中真命題的個(gè)數(shù)為
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
11．電子鐘一天顯示的時(shí)間是從00∶00到23∶59，每一時(shí)刻都由四個(gè)數(shù)字組成，則一天中任一時(shí)刻顯示的四個(gè)數(shù)字之和為23的概率為
A． B． C． D．
12．已知函數(shù)，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)，與的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)
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2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江西卷）
理科數(shù)學(xué)
第Ⅱ卷
注意事項(xiàng)：
第Ⅱ卷2頁(yè)，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答．若在試題卷上作答，答案無效．
二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．請(qǐng)把答案填在答題卡上．
13．直角坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，若為線段的三等分點(diǎn)，則?＝ ．
14．不等式≤的解集為 ．
15．過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸左側(cè))，則＝ ．
16．如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)．如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn) (圖2)．有下列四個(gè)命題：
A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半
B．將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過點(diǎn)
C．任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好
經(jīng)過點(diǎn)
D．若往容器內(nèi)再注入升水，則容器恰好能裝滿
其中真命題的代號(hào)是 ．(寫出所有真命題的代號(hào)) ．
三．解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
在△ABC中．a(chǎn)、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，
a＝2，tan＋tan＝4，sin B sin C＝cos2．求A、B及b、c．
18．（本小題滿分12分）
因冰雪災(zāi)害，某柑桔基地果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果樹的方案，每種方案都需分兩年實(shí)施．若實(shí)施方案一，預(yù)計(jì)第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5．若實(shí)施方案二，預(yù)計(jì)第一年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6．實(shí)施每種方案第一年與第二年相互獨(dú)立，令表示方案實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)．
（1）寫出ξ1、ξ2的分布列；
（2）實(shí)施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大?
（3）不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到、恰好達(dá)到、超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)利潤(rùn)分別為10萬元、15萬元、20萬元．問實(shí)施哪種方案的平均利潤(rùn)更大?
19．（本小題滿分12分）
等差數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列中，，且，是公比為64的等比數(shù)列．
（1）求與；
（2）證明：＋＋……＋＜．
20．（本小題滿分12分）
正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為2．分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過的一個(gè)平面與側(cè)棱或其延長(zhǎng)線分別相交于，已知．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的大�。�
21．（本小題滿分12分）
設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，定點(diǎn)(，0)．
（1）過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，試求△的重心所在的曲線方程；
（2）求證：三點(diǎn)共線．
22．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)＝＋＋，x∈(0，＋∞)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)任意正數(shù)，證明：．
2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江西卷）
一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
B
A
A
D
C
D
A
C
C
B
1．.因所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，
2．.因，
3．.令，則，
4．.
5. . ，，…，
6．D. 函數(shù)
7． .由題知,垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓,則
又,所以
8．. 常數(shù)項(xiàng)為
9. A.
10．. 解：①③④正確，②錯(cuò)誤。易求得、到球心的距離分別為3、2，若兩弦交于，則⊥，中，有，矛盾。當(dāng)、、共線時(shí)分別取最大值5最小值1。
11. . 一天顯示的時(shí)間總共有種,和為23總共有4種,故所求概率為.
12．. 解：當(dāng)時(shí)，顯然不成立
當(dāng)時(shí)，因當(dāng)即時(shí)結(jié)論顯然成立；
當(dāng)時(shí)只要即可
即
則
二. 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。
13. 14. 15. 16. B、D
13. 由已知得,則
14．
15.
16． 解：真命題的代號(hào)是： BD 。易知所盛水的容積為容器容量的一半，故D正確，于是A錯(cuò)誤；水平放置時(shí)由容器形狀的對(duì)稱性知水面經(jīng)過點(diǎn)P，故B正確；C的錯(cuò)誤可由圖1中容器位置向右邊傾斜一些可推知點(diǎn)P將露出水面。
三. 解答題：本大題共6小題，共74分。
17.解：由得
∴ ∴
∴，又
∴
由得
即 ∴
由正弦定理得
18.解：（1）的所有取值為
的所有取值為,
、的分布列分別為：
0.8
0.9
1.0
1.125
1.25
P
0.2
0.15
0.35
0.15
0.15
0.8
0.96
1.0
1.2
1.44
P
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08
（2）令A(yù)、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，
,
可見，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大
（3）令表示方案所帶來的效益，則
10
15
20
P
0.35
0.35
0.3
10
15
20
P
0.5
0.18
0.32
所以
可見，方案一所帶來的平均效益更大。
19．解：（1）設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)，
，
依題意有①
由知為正有理數(shù)，故為的因子之一，
解①得
故
（2）
∴
20．解 ：（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以∥，
則∥平面，所以∥。
又是的中點(diǎn)，所以⊥，則⊥。
因?yàn)椤�，⊥�?/p>
所以⊥面，則⊥，
因此⊥面。
（2）作⊥于，連。因?yàn)椤推矫妫?/p>
根據(jù)三垂線定理知，⊥，
就是二面角的平面角。
作⊥于，則∥，則是的中點(diǎn)，則。
設(shè)，由得，，解得，
在中，，則，。
所以，故二面角為。
解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則
所以
所以
所以平面
由∥得∥，故：平面
(2)由已知設(shè)
由與共線得:存在有得
同理:
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,
則令得
又是平面的一個(gè)法量
所以二面角的大小為
（3）由（2）知，，，平面的一個(gè)法向量為。
則。
則點(diǎn)到平面的距離為
21．證明：（1）設(shè)，由已知得到，且，，
從而,解得
因此的方程為：
同理的方程為：
又在上，所以，
即點(diǎn)都在直線上
又也在直線上,所以三點(diǎn)共線
（2）垂線的方程為：，
由得垂足，
設(shè)重心
所以 解得
由 可得即為重心所在曲線方程
22．解：、當(dāng)時(shí)，，求得 ，
于是當(dāng)時(shí)，；而當(dāng) 時(shí)，．
即在中單調(diào)遞增，而在中單調(diào)遞減．
（2）.對(duì)任意給定的，，由 ，
若令 ，則 … ① ，而 … ②
（一）、先證；因?yàn)�，，�?/p>
又由 ，得 ．
所以
．
（二）、再證；由①、②式中關(guān)于的對(duì)稱性，不妨設(shè)．則
（?）、當(dāng)，則，所以，因?yàn)?，
，此時(shí)．
（?）、當(dāng) …③，由①得 ,，，
因?yàn)?nbsp; 所以 … ④
同理得 … ⑤ ，于是 … ⑥
今證明 … ⑦, 因?yàn)? ，
只要證 ，即 ，也即 ，據(jù)③，此為顯然．
因此⑦得證．故由⑥得 ．
綜上所述，對(duì)任何正數(shù)，皆有．
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