廣東省惠州市2008屆高三第二次調研考試
數學試題（理科）2007.11
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中．只有一項是符合題目要求的．
1、設函數
的定義域為集合M，集合N＝
，則
（ ）．
A．
B．N C．
D．M
2、已知橢圓的長軸長是短軸長的
倍，則橢圓的離心率等于（ ）．
A．
B．
C．
D．
3、如果執(zhí)行的程序框圖（右圖所示），那么輸出的
（ ）．
Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652
4、若曲線
的一條切線
與直線
垂直，則切線的方程為（ ）．
A、
B、
C、
D、
5、方程
有實根的概率為（ ）．
A、
B、
C、
D、
6、已知
是平面，
是直線，則下列命題中不正確的是（ ）．
A、若
∥
，則
B、若∥
，則∥
C、若
，則
∥
D、若
，則
7、一張正方形的紙片，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“
”圖案，
如圖所示，設小矩形的長、寬分別為
、
，剪去部分的面積為
，
若
，記
，則的圖象是（ ）．
 |
8、將函數
的圖象先向左平移
，然后將所得圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?sub>
倍（縱坐標不變），則所得到的圖象對應的函數解析式為（ ）．
A．
B．
C． 
D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共110分）
二、填空題：本大題共7小題，其中13～15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題得分．每小題5分，滿分30分．
9、已知向量
，
，若
，則實數的值等于
．
10、已知
，則
=
．
11、
是虛數單位，則
．
12、函數
由下表定義：
若
，
，
，則
．
13、(坐標系與參數方程選做題)曲線
：
上的點到曲線
：
上的點的最短距離為
．
14、(不等式選講選做題)已知實數
滿足
，則
的最大值為 ．
15、(幾何證明選講選做題)如圖，平行四邊形
中，
，若
的面積等于
,
則
的面積等于
cm．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16、（本小題滿分12分）設正項等比數列
的前項和為
, 已知
，
．
（Ⅰ）求首項
和公比
的值；
（Ⅱ）若
，求的值．
17、（本小題滿分12分）設函數
．
（Ⅰ）求函數的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當
時，的最大值為2，求
的值，并求出
的對稱軸方程．
18、（本小題滿分14分）一個口袋中裝有大小相同的2個白球和4個黑球．
（Ⅰ）采取放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求兩球恰好顏色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求摸得白球的個數的期望和方差.
（方差：
）
19、（本小題滿分14分）如圖，已知四棱錐
的
底面是菱形；
平面,
，
點
為
的中點．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值．
20、（本小題滿分14分）給定圓P:
及拋物
線S:
,過圓心
作直線,此直線與上述兩曲線
的四個交點,自上而下順次記為
,如果線
段
的長按此順序構成一個等差數列,求直
線的方程.
21、（本小題滿分14分）設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程
有實數根；②函數的導數
滿足
”．
（Ⅰ）判斷函數
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意[m，n]
D，都存在
[m，n]，使得等式
成立”，試用這一性質證明：方程
只有一個實數根；
（Ⅲ）設
是方程的實數根，求證：對于定義域中任意的
，當
，且
時，
．
廣東省惠州市2008屆高三第二次調研考試
一、選擇題：
題號
答案
1、解析：
，N＝
，
即
．答案：．
2、解析：由題意得
，又
．
答案：．
3、解析：程序的運行結果是
．答案：．
4、解析：與直線
垂直的切線
的斜率必為4，而
，所以，切點為
．切線為
，即
，答案：．
5、解析：由一元二次方程有實根的條件
，而
，由幾何概率得有實根的概率為
．答案：．
6、解析：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，所以正確；如果兩個平面與同一條直線垂直，則這兩個平面平行，所以正確；
如果一個平面經過了另一個平面的一條垂線，則這兩個平面平行，所以也正確；
只有選項錯誤．答案：．
7、解析：由題意，得
，答案：．
8、解析：
的圖象先向左平移
，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?sub>倍
．答案：．
二、填空題：
題號
答案
9、解析：若
，則
，解得
．
10、解析：由題意
．
11、解析：
12、解析：令
，則
，令
，則
，
令
，則
，令
，則
，
令
，則
，令
，則
，
…，所以
．
13、解析：
：
；則圓心坐標為
．
：
由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離為
，所以要求的最短距離為
．
14、解析：由柯西不等式
，答案：．
15、解析：顯然
與
為相似三角形，又
，所以的面積等于
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16、解: (Ⅰ)
, ……………………… 2分
∴
，………………………………………………… 4分
解得
．………………………………………………………………… 6分
(Ⅱ)由
,得：
, ……………………… 8分
∴
………………………………… 10分
∴
．…………………………………………………………… 12分
17、解：（1）
… 2分
則
的最小正周期
， …………………………………4分
且當
時單調遞增．
即
為的單調遞增區(qū)間（寫成開區(qū)間不扣分）．………6分
（2）當
時
，當
，即
時
．
所以
． …………………………9分
為的對稱軸． …………………12分
18、解：
（Ⅰ）解法一：“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，
記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件，………………………2分
∵“兩球恰好顏色不同”共
種可能，…………………………5分
∴
． ……………………………………………………7分
解法二：“有放回摸取”可看作獨立重復實驗， …………………………2分
∵每次摸出一球得白球的概率為
．………………………………5分
∴“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為
． ……………………………7分
（Ⅱ）設摸得白球的個數為
，依題意得：
，
，
．…………10分
∴
，……………………………………12分
．……………………14分
19、(Ⅰ)證明: 連結
，
與交于點
，連結
.………………………1分
是菱形, ∴是的中點. ………………………………………2分
點
為
的中點, ∴
. …………………………………3分
平面
平面
, ∴
平面. ……………… 6分
(Ⅱ)解法一:
平面,
平面,∴ 
.
，∴
. …………………………… 7分
是菱形, ∴
.
，
∴
平面
. …………………………………………………………8分
作
，垂足為
，連接
，則
,
所以
為二面角
的平面角. ………………………………… 10分
,∴
，
.
在Rt△
中,
=
，…………………………… 12分
∴
.…………………………… 13分
∴二面角
的正切值是
. ………………………… 14分
解法二：如圖，以點為坐標原點，線段
的垂直平分線所在直線為
軸，
所在直線為
軸，
所在直線為
軸，建立空間直角坐標系，令
，……………2分
則
，
,
．
∴
． ……………4分
設平面
的一個法向量為
,
由
，得
，
令
，則
，∴
. …………………7分
平面,平面,
∴. ………………………………… 8分
，∴.
是菱形,∴.
，∴平面.…………………………… 9分
∴
是平面的一個法向量,
．………………… 10分
∴
，
∴
， …………………… 12分
∴
．…………………………………… 13分
∴二面角的正切值是. ……………………… 14分
20、解:圓
的方程為
,則其直徑長
,圓心為
,設的方程為
,即
,代入拋物線方程得:
,設
，
有
, ………………………………2分
則
. ……………………4分
故
…6分
, ………… 7分
因此
. ………………………………… 8分
據等差,
, …………… 10分
所以
，即
,
，…………… 12分
即：方程為
或
. …………………14分
21、解：
（1）因為
， …………………………2分
所以
，滿足條件
. …………………3分
又因為當
時，
，所以方程
有實數根
．
所以函數
是集合M中的元素． …………………………4分
（2）假設方程存在兩個實數根
），
則
，……………………………………5分
不妨設
，根據題意存在數
使得等式
成立， ………………………7分
因為
，所以
，與已知
矛盾，
所以方程只有一個實數根；………………………10分
（3）不妨設
，因為
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